高中数学人教B版第一章立体几何初步 第1章7

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．【答案】D2．如图1­2­47，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()图1­2­47A．∠BPA B．∠PBAC．∠PBC D．以上都不对【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.【答案】B3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或无数个 D．不存在【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】B4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1\f(\r(2),3) \f(\r(3),3)\f(2,3) \f(\r(6),3)【解析】如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为eq\f(\r(6),3).【答案】D5．(2023·成都高二检测)已知ABCD­A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1【解析】正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.【答案】D二、填空题6．(2023·太原高一检测)如图1­2­48，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图1­2­48【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图1­2­49所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．图1­2­49【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】48．(2023·淮安高二检测)如图1­2­50，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图1­2­50①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】4三、解答题9．如图1­2­51，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.【导学号：60870043】图1­2­51【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.10．如图1­2­52所示，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图1­2­52【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.[能力提升]1．已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的()A．外心 B．内心C．垂心 D．重心【解析】如图，∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC.又BC⊥PH，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理AB⊥CH，AC⊥BH.∴点H为△ABC的垂心．【答案】C2．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(6)，则PC与平面ABCD所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】如图，连接AC.∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角．∵AC＝eq\r(2)，PA＝eq\r(6)，∴tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(\r(6),\r(2))＝eq\r(3).∴∠PCA＝60°.【答案】C3．如图1­2­53，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2eq\r(3)cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为________．图1­2­53【解析】过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，易知△CFO为直角三角形，又PC＝4，PF＝2eq\r(3)，∴CF＝2，∴CO＝2eq\r(2)，在Rt△PCO中，cosθ＝eq\f(CO,PC)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.【答案】45°4．如图1­2­54，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．图1­2­54(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴