高中数学人教B版第一章立体几何初步 4

第13课时1.2.2课时目标1.理解平面与平面平行的判定定理和性质定理．2．能用平面与平面平行的判定定理和性质定理解决一些空间线面关系的问题．识记强化1．如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．用符号表示为α∥β.2．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．3．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，用符号表示为：如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，那么a∥b.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．下列说法正确的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行C．平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行D．平面α内所有直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行答案：D解析：两个平面平行⇔两个平面没有公共点⇔平面α内的所有直线与平面β没有公共点⇔平面α内的所有直线都与β平行．2．过平面外一条直线作平面的平行平面，则()A．必定可以并且只可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．不能作答案：C解析：当直线与平面相交时，无法作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作唯一平面．3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.A．1B．2C．3D．4答案：A解析：对于①，α与β还可能相交，故①错误；②显然正确；对于③，α与β还可能相交，故③错误；对于④，α与β还可能相交，故④错误．4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对答案：C解析：如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形．∴应选C.5．平面α∥平面β的一个条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b、a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案：D解析：对于选项A，当α、β两平面相交，直线a平行于交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面α、β相交，当a在平面α内且a平行于交线时，满足要求，但α与β不平行；对于C，同样在α与β相交，且a，b分别在α、β内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因为a、b异面，故在β内一定有一条直线a′与a平行且与b相交，同样，在α内也一定有一条直线b′与b平行且与a相交，由面面平行判定的推论可知其正确．6．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，线段PA，PB，PC分别交α于点A′，B′，C′，若eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(9,49)，则eq\f(PA′,AA′)＝()\f(4,3)\f(3,49)\f(7,8)\f(3,4)答案：D解析：由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))2＝eq\f(9,49)，所以eq\f(PA′,PA)＝eq\f(3,7)，所以eq\f(PA′,AA′)＝eq\f(3,4)，故选D.二、填空题(每个5分，共15分)7．过平面外一点可以作________条直线与已知平面平行；过平面外一点可以作________平面与已知平面平行．答案：无数一个解析：过平面外一点，可以作无数条直线与已知平面平行，但过平面外一点，只可以作一个平面与已知平面平行．8．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，则CS＝________.答案：eq\f(68,3)或68解析：分两种情况：(1)如图①所示，AB、CD交于S.因为α∥β，所以AC∥BD，所以eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,CD－CS)，即eq\f(18,9)＝eq\f(CS,34－CS).所以CS＝eq\f(68,3).(2)如图②所示，AB、CD交于S，因为α∥β，所以AC∥BD，所以eq\f(BS,AS)＝eq\f(SD,SC)，即eq\f(9,18)＝eq\f(CS－34,CS)，所以CS＝68.9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1答案：点M在线段FH上解析：取B1C1的中点K，连接NK、FK、HF、HN，易证平面FHNK∥平面B1BDD1，故当点M在线段FH上时，MN⊂平面FHNK，此时MN∥平面B1BDD1三、解答题10．(12分)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面解：连接MF.∵M，F是A1B1，C1D1的中点，四边形A1B1C1D1∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD，∴MF綊AD.∴四边形AMFD是平行四边形，∴AM∥DF.∵DF⊂平面EFDB，AM⊄平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理，AN∥平面EFDB.又AM⊂平面AMN，AN⊂平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.11．(13分)如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，D分别是B′C′与BC的中点．求证：平面A′EB∥平面ADC′.证明：连接DE.∵E，D分别是B′C′与BC的中点，∴DE綊AA′，∴四边形AA′ED是平行四边形，∴A′E∥AD.∵A′E⊄平面ADC′，AD⊂平面ADC′，∴A′E∥平面ADC′.又BE∥DC′，BE⊄平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，∴BE∥平面ADC′.∵A′E⊂平面A′EB，BE⊂平面A′EB，A′E∩BE＝E，∴平面A′EB∥平面ADC′.能力提升12．(5分)在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解析：当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：如图，取PE的中点M，连接BM，FM，则FM∥CE.由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，知E是MD的中点．连接BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，所以BM∥OE.又FM∩BM＝M，CE∩OE＝E，所以平面BFM∥平面AEC.又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC.13．(15分)如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．证明：方法一：(1)因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．如图①，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.所以MN∥AE.所以MN∥