高中数学苏教版第二章平面解析几何初步单元测试 同课异构

2．直线与圆的位置关系为了更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处(如右图所示)把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点，测得数据如下表(设鲸沿海面游动)．然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测．已知AB＝15km，观测站B的观测半径为5km.写出a，b近似满足的关系式，并预测：若按此关系式运动，那么鲸经过多长时间可进入观测站观测时刻t/min跟踪观测点到放归点的距离x/km鲸位于跟踪观测点正北方的距离y/km101202430314040

1．直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种．2．(1)若直线与圆相交⇔圆心到直线的距离d<圆的半径r；(2)若直线与圆相切⇔圆心到直线的距离d＝圆的半径r；(3)若直线与圆相离⇔圆心到直线的距离d>圆的半径r.3．由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，,y＝x＋b，))消去y，可得关于x的一元二次方程2x2＋2bx＋b2－2＝0，方程的根的判别式Δ＝16－4b2．(1)当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆相交；(2)当b＝±2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆相切；(3)当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆相离．4．若P(x0，y0)(y0≠0)是圆x2＋y2＝r2上一点，过P(x0，y0)的直线与圆相切，则切线的斜率为－eq\f(x0,y0)，切线方程为x0x＋y0y＝r2．5．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2外一点P(x0，y0)作圆的切线PT(T为切点)，则切线长PT＝eq\r(（x0－a）2＋（y0－b）2－R2)．一、直线与圆的位置关系①直线与圆相交，有两个公共点；②直线与圆相切，只有一个公共点；③直线与圆相离，没有公共点．二、判定直线与圆的位置关系的方法有两种：代数法和几何法．方法一：代数法．判断直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系，可将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0))联立，可得mx2＋nx＋p＝0.然后利用Δ，当Δ＝0时相切，当Δ＞0时相交，当Δ＜0时相离．方法二：几何法．已知直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)).相交⇔d＜r；相切⇔d＝r；相离⇔d＞r.三、圆中的弦长公式直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形的三边，数形结合，利用勾股定理求解．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)知识点一直线与圆的位置关系1．已知直线x＝a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是________．解析：由已知|a－1|＝2，∴a＝3或a＝－1.又a＞0，∴a＝3.答案：32．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程是__________________________________________________________．解析：设圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为eq\f(\r(3)－0,1－2)＝－eq\r(3)，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为eq\f(\r(3),3)，由点斜式得切线方程y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.答案：x－eq\r(3)y＋2＝03．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x＋1}，则A∩B的元素个数为(C)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x＋1上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.知识点二圆的弦长及切线长4．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2eq\r(3)，则a＝________．解析：∵AB＝2eq\r(3)，R＝2，∴圆心(1，2)到直线ax－y＋3＝0的距离为eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，即eq\f(|a－2＋3|,\r(a2＋1))＝1，∴a＝0.答案：05．由直线x－y＋1＝0上一点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：圆心C(3，0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝2eq\r(2)，故直线上的点P到圆心的距离的最小值为2eq\r(2)，从而切线长的最小值为eq\r(7).答案：eq\r(7)6．过点P(3，－4)的直线l被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求该直线方程．解析：当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y＋4＝k(x－3)，即kx－y－3k－4＝0.因l被圆所截得的弦长为8，又圆的半径R＝5，故知圆心到直线l的距离等于3.由点到直线的距离公式，得eq\f(|k×0－0－3k－4|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(7,24).此时，l的方程为y＋4＝－eq\f(7,24)(x－3)，即7x＋24y＋75＝0.又当l垂直于x轴时，这时的直线方程为x＝3，满足题目要求，故所求的直线l的方程为x＝3或7x＋24y＋75＝0.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一直线与圆的位置关系的判定7．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是________．解析：圆心(2，3)到直线3x－4y＋6＝0的距离为d＝eq\f(|3×2－4×3＋6|,\r(32＋（－4）2))＝0.∴直线过圆心且与圆相交．答案：相交且过圆心8．直线(x＋1)a＋(y＋1)b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．解析：直线方程为ax＋by＋a＋b＝0过定点(－1，－1)，又(－1，－1)在圆x2＋y2＝2上，故直线和圆相切或相交．答案：相切或相交9．若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是________．解析：由题意得：eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，即a2＋b2>1，故点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外．答案：在圆外综合点二求圆的切线和割线10．从点P(4，5)向圆(x－2)2＋y2＝4引切线，求切线方程．解析：若切线的斜率不存在，切线方程为x＝4，满足条件；若切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0，又圆心坐标为(2，0)，r＝2，因为圆心到切线的距离等于半径，即eq\f(|2k－0＋5－4k|,\r(k2＋1))＝2，k＝eq\f(21,20).所以切线方程为21x－20y＋16＝0或x＝4.11．圆x2＋y2＋4y－21＝0的割线l被圆截得的弦长为4eq\r(5)，若l过点M(－3，－3)，求l的方程．解析：将圆写成标准式方程，得x2＋(y＋2)2＝25，所以圆心为(0，－2)，半径r＝5.设圆心到直线l的距离为d，则d＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),2)))\s\up12(2))＝eq\r(5).设l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0，所以d＝eq\f(|2＋3k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(5).解得k＝－eq\f(1,2)，或k＝2.故所求直线l有两条，其方程分别为y＋3＝－eq\f(1,2)(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.综合点三数形结合解决有关的问题12．当b取何值时，直线y＝x＋b与曲线y＝eq\r(1－x2)；(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点．解析：由y＝eq\r(1－x2)得，y2＝1－x2(y≥0)，即x2＋y2＝1(y≥0)．由此可知，曲线y＝eq\r(1－x2)是x2＋y2＝1位于x轴上方的半圆，当直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切时，b＝±eq\r(2)，故知直线与半圆y＝eq\r(1－x2)相切时，b＝eq\r(2).将点(1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝1＋b，解得b＝－1；将点(－1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝－1＋b，解得b＝1.由下图可知，(1)当b＝eq\r(2)或－1≤b＜1时，直线与曲线只有一个公共点；(2)当1≤b＜eq\r(2)时，直线与曲线有两个公共点；(3)当b＜－1或b＞eq\r(2)时，直线与曲线没有公共点．13．已知圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2，直线4x＋3y＝11，问当圆半径R取何值时，圆上：(1)有一点到直线的距离等于1；(2)有两点到直线的距离等于