高中数学人教A版2第一章导数及其应用定积分的概念 全国公开课

1.5定积分的概念第二课时定积分的定义一、课前准备1.课时目标1.借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2.会用定积分的几何意义求积分值；3.能熟练应用定积分的性质解题。2.基础预探1.如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式________，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的________，记作________，即________，区间[a，b]叫做________，函数f(x)叫做________.2．当f(x)≥0时，定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示由________所围成的曲边梯形的________.当f(x)≤0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx是________(填“正数”或“负数”)．3．(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝________(k为常数)；(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝________；(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝________(a<c<b)．二、学习引领1.定积分含义的理解求曲边梯形的面积与变速直线运动物体的路程，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在本质上，都利用了“分割-----代替----求和-------取极限”这种方法，体现了由曲化直，由变转化不变的思想．若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义．2.定积分应注意问题(1)定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f(x)的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(u)du＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt＝…．(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．在定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的定义中，总是假设a<b，而当a＝b及a>b时，不难验证，eq\i\in(a,a,)f(x)dx＝0，eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝－eq\i\in(b,a,)f(x)dx.(3)定积分的值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积．3.函数的奇偶性与定积分的关系根据定积分的几何意义知，若f(x)是区间[－a，a](a>0)上的连续函数，则(1)当f(x)是偶函数时，eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx;(2)当f(x)是奇函数时，eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝0.三、典例导析题型一利用定积分定义求值例1利用定积分定义，计算eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx的值．思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决．解析：（1）令f(x)＝3x＋2，在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)](i＝1,2，…，n)。每个小区间的长度为Δx＝eq\f(n＋i,n)－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1,n)。（2），则eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx≈=（3）eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx∴所求曲边梯形的面积为.归纳总结：利用定义求定积分的步骤是“分割、近似代替，求和、取极限”，整理式子是解决这类问题容易出错的地方，应多加注意．变式训练：利用定积分的定义，计算eq\i\in(0,2,)x2dx的值．题型二应用定积分几何意义的求积分值例2用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)(2)（3）思路导析：求解本题应先做出被积函数的图象，再找到相应的积分的图形，计算出面积即可。解：（1）由可知，其图像如图。等于圆心角为的弓形CDE的面积与矩形ABCD的面积之和。S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝AB·BC＝2eq\r(3)，∴=2eq\r(3)+eq\f(2π,3)－eq\r(3)=eq\f(2π,3)+eq\r(3).(2)∵函数y=sinx在x∈上是奇函数，∴=0.(3)函数y＝1＋sinx的图象如图所示，∴归纳总结：利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，运用数形结合法是关键．变式训练：用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx(2)（3）题型三定积分性质的应用例3计算定积分eq\i\in(0,1,)(x＋1)(x－3)dx.思路导析：将此复杂的积分函数展开，利用积分的性质分解为多个简单的积分函数的问题求解。解析：(1)∵eq\i\in(0,1,)(x＋1)(x－3)dx＝eq\i\in(0,1,)(x2－2x－3)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx－2eq\i\in(0,1,)xdx－eq\i\in(0,1,)3dx，利用定积分的定义求得eq\i\in(0,1,)x2dx＝eq\f(1,3)，eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\f(1,2)，eq\i\in(0,1,)3dx＝3，∴eq\i\in(0,1,)(x＋1)(x－3)＝eq\f(1,3)－2×eq\f(1,2)－3＝－eq\f(11,3).归纳总结：利用积分的性质可以将复杂的积分问题转化为简单的积分的加减乘除问题解决。变式训练：已知eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝ln2，求证：eq\i\in(1,2,)(1＋eq\f(1,x))(2－x)dx＝lneq\f(4,\r(e)).四、随堂练习1.设函数f(x)>0，则当a<b时，定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的符号()A．一定是正的B．一定是负的C．当0<a<b时是正的，当a<b<0时是负的D．以上结论都不对2．定积分eq\i\in(1,3,)(－3)dx等于()A．－6 B．6C．－3 D．33.已知eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝56，则()A.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝28 B.eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝28C.eq\i\in(1,2,)2f(x)dx＝56 D.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝564.eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝________.5.计算eq\i\in(-1,1,)x5dx＝________.6．已知eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝12，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝6，求eq\i\in(a,b,)3f(x)dx.五、课后作业1.eq\i\in(0,1,)xdx与eq\i\in(0,1,)x2dx的大小关系是()A.eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\i\in(0,1,)x2dxB．(eq\i\in(0,1,)xdx)2＝eq\i\in(0,1,)x2dxC.eq\i\in(0,1,)xdx>eq\i\in(0,1,)x2dxD.eq\i\in(0,1,)xdx<eq\i\in(0,1,)x2dx2．下列值等于1的是()A.eq\i\in(0,1,)xdx B.eq\i\in(0,1,)(x＋1)dxC.eq\i\in(0,1,)1dx D.eq\i\in(0,1,)eq\f(1,2)dx3．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2(x≥0)，,2x(x<0)，))则eq\i\in(-1,1,)f(x)dx的值是________4．若,则由直线x＝0，x＝π，曲线y＝sinx及x轴围成的图形的面积为________．5．利用定积分的几何意义，说明下列等式．(1)eq\i\in(0,1,)2xdx=1(2)eq\i\in(-1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2)6．已知eq\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x3dx＝eq\f(e4,4)，计算下列定积分：(1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x3)dx；(2)eq\i\in(0,e,)(2x3－x)dx.参考答案一、课前准备2.基础预探1.f(ξi)Δx＝eq\f(b－a,n)f(ξi)定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\f(b－a,n)f(ξi)积分区间被积函数2.直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)面积负数3.keq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dxeq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx三、典例导析例1变式训练解：（1）令f(x)＝x2.将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为[eq\f(2(i－1),n)，eq\f(2i,n)]，第i个小区间的面积ΔSi≈f(eq\f(2(i－1),n))·eq\f(2,n).（2）eq\i\in(0,2,)x2dx≈、=（3）eq\i\in(0,2,)x2dx∴所求曲边梯形的面积为.例2变式训练解析：(1)由y＝eq\r(1－x2)得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是圆心为原点，半径为1的圆的eq\f(1,4)部分．∴eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π·12＝eq\f(1,4)π.(2)由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，x轴上方的图像和下方的图像完全相同，因此＝0.(3)∵函数y＝sin7x＋x3在x∈[－π，π]上是奇函数，∴＝0.例3变式训练证明：∵eq\i\in(1,2,)(1＋eq\f(1,x))(2－x)dx＝eq\i\in(1,2,)(1－x＋eq\f(2,x))dx＝eq\i\in(1,2,)1dx－eq\i\in(1,2,)xdx＋2eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx.又eq\i\in(1,2,)1dx＝1，eq\i\in(1,2,)xdx＝eq\f(3,2)，eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝ln2，∴eq\i\in(1,2,)(1＋eq\f(1,x))(2－x)dx＝1－eq\f(3,2)＋2ln2＝－eq\f(1,2)＋ln4＝lneq\f(1,\r(e))＋ln4＝lneq\f(4,\r(e)).四、随堂练习1．解析：由定积分的几何意义可知选A.答案：A2．解析：由积分的几何意义可知eq\i\in(1,3,)(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝－6.答案：A3.解析：由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0围成的曲边梯形和由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0围成的曲边梯形．∴eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx即eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56.故应选D.答案：D4.解析：如图A(0，－4)，B(6,8)S△AOM＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△MBC＝eq\f(1,2)×4×8＝16。∴eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝16－4＝12.答案：125.解析：因为y=x5是奇函数，其图像关于原点对称，所以eq\i\in(-1,1,)x5dx=eq\i\in(-1,0,)x5dx+eq\i\in(0,1,)x5dx=0答案：06．解：∵eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx，∴eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝12－6＝6.∴eq\i\in(a,b,)3f(x)dx＝3eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝3×6＝18.五、课后作业1.解析：当0<x<1时，x>x2>0，由定积分的几何意义得eq\i\in(0,1,)xdx>eq\i\in(0,1,)x2dx>0.答案：C2．答案：C3．解析：由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，eq\i\in(-1,1,)f(x)dx=eq\i\in(-1,0,)f(x)dx+eq\i\in(0,1,)f(x)dx=eq\i\