沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.5 角的平分线 教案

/9教学设计模板（可加页）学校姓名职称教龄学科数学电子邮箱手机课题名称角的平分线（1）章节教学目标.掌握角的平分线的性质定理及其逆定理，运用它们解决相关的几何问题。.经历观察、猜想、验证、概括、证明等数学学习活动过程，发展合情推理能力。.在角的平分线的性质定理和逆定理的探究过程中，体会变化的现象中蕴含着不变的本质。学习者分析八年级的学生观察、猜想能力较强，但归纳、概括、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、批判性、灵活性比较欠缺，数学思维正处于由具体形象思维向经验型抽象逻辑思维转变阶段，是学习规范几何推理过程的较好时期。在学习本节内容之前，已经经过几何证明举例的训练，同时也学习了线段的垂直平分线的性质定理和逆定理，这为学习本节内容提供了知识和能力基础。另外本班大部分学生基础较好，前面知识掌握扎实，大部分学生热爱学习数学，并能够积极主动学习。教学重难点及教学策略教学重点：角平分线性质定理及其逆定理，这两个定理的正确运用。教学难点：把角的平分线性质定理的逆命题完善为真命题，正确区分性质定理和逆定理。“新理念、新媒体、新技术”应用（可复选）概念图/思维导图网络环境其他几何画板教学环节教学内容教、学活动技术运用及设计意图

引入回忆角平分线的概念请学生回忆角平分线的概念开门见山，直接引入学生回忆，并作答。教师：今天我们学习角平分线的知识。强调角平分线是角的内部的一条射线。为探究角平分线的性质定理和逆定理做铺垫。新知探究1．探究角平分线的性质（1）教师在电子白板上操作：运用几何画板和电子白板通定理依次画出一个角NAOB,画出它过教师的操作可以把问题更的角平分线OC,度量NAOC和NCOB的大小并显示在白板上，在OC引入回忆角平分线的概念请学生回忆角平分线的概念开门见山，直接引入学生回忆，并作答。教师：今天我们学习角平分线的知识。强调角平分线是角的内部的一条射线。为探究角平分线的性质定理和逆定理做铺垫。新知探究1．探究角平分线的性质（1）教师在电子白板上操作：运用几何画板和电子白板通定理依次画出一个角NAOB,画出它过教师的操作可以把问题更的角平分线OC,度量NAOC和NCOB的大小并显示在白板上，在OC上取一点P,作PD^OA,PELOB,垂足分别为点D、E。直观地呈现在学生面前,使学生的猜想更合理。（1）实验操作得出猜想。（2）几何画板动态演示,验证猜想。（3）归纳、概括得出命题。（4）证明命题是真命题。（2）学生猜测这两条垂线段的长有怎样的数量关系。（3）教师用几何画板的度量功能量出线段PD、PE的长度，并显示在电子白板上。让学生学会猜想,培养直觉思维。用度量出的结果验证学生的猜想。（5）得到角平分线的性质定理,并写出其符号表达式。（4）教师拖动点P,同学观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。P点位置的变化，让学生理解角平分线上所有点都符合猜想。（5）教师拖动点A,改变NAOB的大小,学生再观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。NAOB大小的改变,让学生理解猜想的结果不随角的大小的改变而改变。

(6)学生把刚才的猜想概括成一个命题。(7)学生结合白板上的图形，讲出已知、求证并证明这个命题是真命题。教师板演。(8)得到角平分线的性质定理，学生讲出其符号表达式。教师板演。(9)教师小结：该定理用于证明两条线段相等。(几何画板的度量功能和动态演示对于验证学生的猜想形象直观，产生了很好的效果。同时也让学生从点P位置的变化和NAOB大小的改变体会到特殊与一般的关系，这也是以往教学无法做到的。几何画板的运用对训练学生的思维广阔性也起到了一定的作用。)完善猜想，训练学生语言概括能力。对猜想加以证明，让学生知道猜想是需要证明的。教师做示范，让学生明确定理，并知道如何用符号语言表达。让学生明确定理用途。新知探究练习：1.如图，PELAB于点E,PFXAC于点F,①若AP平分NBAC,则PE=PF吗？为什么？②若PA平分NEPF,则AE=AF吗？(9)教师给出两道填空题，学生思考并完成。练习1是让学生正确运用角平分线性质定理证明两条线段相等，并体会其比用全等的方法证明简单。

为什么？③若AP平分NBAC,则AF=AE吗？为什么？」.二:「AEB2.如图，4ABC中，NC=90°,BD平分NABC,CD=3cm,则点D至UAB的距离为cm。B人练习2是让学生能够构造角平分线性质定理的图形模型，用角平分线性质求点到直线的距离。2、探究角平分线性质定理的逆定理(1)说出角平分线性质定理的逆命题，并判断其真假。(2)完善逆命题。(3)得到角平分线性质定理的逆定理，写出其符号表达式。(这个定理以后证明)。3、角平分线的集合语言叙述。(1)学生说出角平分线性质定理的逆命题并判断这个逆命题的真假。(2)教师用几何画板画出一个角NAOB和一个点P,作PDXOA,PELOB,垂足分别为点D、E,使PD=PE,^PD、PE的长度，并显示在电子白板上，画出射线OP,度量/AOP和NBOP的度数(NAOP二NBOP),并显示在电子白板上。教师拖动自由点E使点E在射线OE上移动，学生观察点P的位置发生变化时，PD、PE的长度变化，PD和PE的数量关系；N为得出逆定理作准备。

AOP和NBOP的度数变化，ZAOP和NBOP的数量关系。（3）教师继续拖动自由点E使点E在射线OE的反向延长线上移动，学生继续观察点P的位置发生变化时，PD、PE的长度变化，PD和PE的数量关系；ZAOP和NBOP的度数变化，NAOP和NBOP的数量关系。（4）学生指出逆命题成立的条件，完善逆命题，得出逆定理。（5）写出其符号语言表达式。（教师告诉学生这个定理以后证明）。（6）学生模仿线段的垂直平分线性质，得出角平分线的集合语言叙述。让学生通过观察得出在角的内部（包括顶点），且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。让学生观察发现到NAOB两边距离相等的点，不仅在/AOB的平分线上，还NAOB的邻补角、对顶角的平分线上，进而让他们修改逆命题，使甘卓重口。（几何画板的度量功能和动态演示使不符合逆命题的几种情况更加形象直观，学生对这几种情况有了更深刻的认识，成功地突破了难点。这是只靠教师讲解，学生想象所不能到达的。同时也有效地对学生的批判性思维进行了训练。）让学生根据观察说出逆命题成立的条件，得出逆定理。让学生知道如何用符号语言表达逆定理。渗透集合思想，提高学生集合语言表达能力。巩固应用1．例题讲解：已知：如图，AO、BO分别是NA、ZB的平分线，OD±BC,OEXAB,垂足分别为D、E。求证：点。在NC的平分线上AEOBDC（1）教师在电子白板上显示例题。学生读题、思考。（2）请学生分析问题的条件、结论，正确区分定理和逆定理，并得出解决方法。2．变式训练深化新知：（3）板演证明过程。提高学生正确运用定理和逆定理解决问题的能力。训练学生分析问题解决问题的能力。让学生借助几何画板展现给学生的几何图形的模型，进行思考、构造、寻找解题思路示范规范的解题过程，让学生掌握正确的书写方法。将例题进行变式：变式1.如图，点P是4ABC的两个外角平分线BM、CN的交点。求证：点P在NBAC的平分线上。训练学生思维灵活性。（4）显示两个变式问题，请学生思考，并解决。ABCPNM变式2.如图，4ABC的一个外角的小结深化学生自主小结。学生谈这堂课的体会与收获。让学生对课堂内容进行归纳总结，使知识系统化，进一步深化。作业布置1.已知：如图，N1=N2,CD，AB于D,BELAC于E,BE、CD相交于点0。（1）求证:OC=OB。（2）不改变已知条件：①图中还有哪些线段相等？②若连结ED，则AO与£0有怎样的位置关系？（3）部分条件与结论互换：若N1=N2与0C=0B互换，怎么证明？学生课后完成。让学生掌握定理和逆定理，正确运用它们解决相关几何问题。提高推理能力。

.如图，已知△ABC中，NC=90,AC-BC,点D在BC上，.如图，已知△ABC中，NC=90,AC-BC,点D在BC上，DELAB,点E为垂足，且DE=DC,联结AD。求：NADB度数。.如图，在河中有座水文观测台0,它位于到平行的河两岸以及河上大桥AB的距离相等的地点。水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥这头驶到桥那头，问记录员的视线转过多大角度。.在直角三角形中画出一个锐角的平分线，除前面的方法外，你还有其他方法吗?（探索画角平分线的新方法）提高学生运用所学定理解决实际问题，提高学生分析问题解决问题的能力。备注：这堂课在师生互动，学生个体活动中，学生通过观察、想象、猜想、概括、论证、应用，提高了学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。这堂课中电子白板和几何画板软件的运用起到了不可替代的作用，几何画板的动态操作，让学生直观地观察到角的平分线上的点的位置变化不影响它到角两边距离相等的结论