高中数学北师大版1第二章圆锥曲线与方程 第2章

第二章§1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法正确的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆解析：椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹A中，|F1F2|＝8，故到F1，F2两点距离之和为常数8的点的轨迹是线段1F中，到F1，F2的两点距离之和为6，小于|F1F2|的距离，故这样的轨迹不存在．C中，点(5,3)到F1，F2两点的距离之和为eq\r(5＋42＋32)＋eq\r(5－42＋32)＝4eq\r(10)>|F1F2|＝8，故轨迹是椭圆．D中，轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故选C.答案：C2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为()A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12解析：根据椭圆定义知△ABC的周长l＝4a＝4eq\r(3).答案：C3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＞0,\f(1,n)＞0,\f(1,n)＞\f(1,m)))⇔m＞n＞0，故选C.答案：C4．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)解析：因为|AB|＝8，|CA|＋|CB|＝18－8＝10，所以顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a＝10，2c＝8，所以b2＝9.所以顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,9－k)＝1表示椭圆，则参数k的取值范围是________．解析：依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－4＞0,9－k＞0,k－4≠9－k))，∴4＜k＜9且k≠eq\f(13,2).答案：4＜k＜9且k≠eq\f(13,2)6．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为____________．解析：如图所示．|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝eq\f(1,2)(2×5－|MF1|)＝4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解析：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝1))，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求椭圆的标准方程是eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.8．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解析：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，即点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上是否存在点P，使P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直？若存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．解析：设椭圆的两个焦点为F1、F2，依题意，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，∴|F1F2如果所求P点存在，则|PF1|＋|PF2|