高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版第1章角度问题

第2课时角度问题1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)3.能根据题意画出几何图形.(易错点)[基础·初探]教材整理方位角与方向角阅读教材P14问题4，完成下列问题.1.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图1­2­17所示).图1­2­17方位角的取值范围：0°～360°.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.1.下列说法中正确的个数为()(1)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向；(2)如图1­2­18所示，该角可以说成北偏东110°；图1­2­18(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(4)若点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且AC＝BC，则点A在点B北偏西15°方向.B.2【解析】(1)错误.因若P在Q的北偏东44°，则Q应在P的南偏西44°.(2)错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.(3)错误.因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围为0°～360°.(4)正确.【答案】A2.某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的()A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′C.北偏西55°33′ D.南偏西55°33′【解析】如图所示.【答案】A3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()km \r(3)akm\r(2)akm D.2akm【解析】如图，可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.在△ABC中，过点C作CD⊥AB，则AB＝2AD＝2asin60°＝eq\r(3)a.【答案】B4.某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq\r(3)km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.【解析】如图所示，由题意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7.所以A，C两地的距离为7km.【答案】7[小组合作型]角度问题(1)如图1­2­19，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()图1­2­19A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2eq\r(3)m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()\f(\r(3),3)，60° \r(3)，60°\r(3)，30° \f(\r(3),3)，30°【精彩点拨】(1)两座灯塔A、B与观察站C的距离相等，说明∠A与∠B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东60°，说明∠CBD是多少度？(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.【自主解答】(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝2eq\r(3)m，则AE＝eq\f(AB－CD,2)＝2m，∴tan∠DAE＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠DAE＝60°.【答案】(1)D(2)B测量角度问题画示意图的基本步骤：[再练一题]1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.【导学号：18082023】【解析】∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.【答案】60°20eq\r(3)求航向的角度某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.【精彩点拨】本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.【自主解答】如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×eq\f(1,2)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为eq\f(2,3)h.此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈°或∠CAB≈°(舍去).即舰艇航行的方位角为45°＋°＝°.所以舰艇以°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近渔轮.1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.但角在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上时，用正、余弦定理皆可.[再练一题]2.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq\r(3)＋1)nmile的海面上有一台风中心，影响半径为20nmile，正以每小时10eq\r(2)nmile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq\r(3)＋1h后开始影响基地持续2h.求台风移动的方向.【解】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)·10eq\r(2).在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量eq\o(CD,\s\up12(→))的方向.即北偏西45°方向.答：台风向北偏西45°方向移动.[探究共研型]求解速度问题探究1某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4km，从B到C，方位角是80°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是6km，试画出示意图.【提示】如图所示：探究2在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？【提示】如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos150°)＝4eq\r(7)，则此人的最小速度为v＝eq\f(4\r(7),\f(1,2))＝8eq\r(7)(km/h).探究3在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路直接由A到C【提示】投递员到达C点的时间为t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝eq\f(4\r(7),16\r(7))＝eq\f(1,4)(小时)＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇.如图1­2­20所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？图1­2­20【精彩点拨】根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.【自主解答】作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝eq\f(4,5).设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×eq\f(4,5)，即v2＝eq\f(25,t2)－eq\f(400,t)＋2500＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－8))2＋900≥900，∴当t＝eq\f(1,8)时，v取得最小值为30，∴其行驶距离为vt＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)公里.故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了eq\f(15,4)公里.解决实际问题应注意的问题：1首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.2将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题[再练一题]3.如图1­2­21，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？【导学号：18082023】图1­2­21【解】设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2).∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直.∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北60°方向能最快追上走私船.

1.已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°【解析】如图，因△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故答案为B.

【答案】B2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A.50m B.100mC.120m D.150m【解析】设水柱高度是hm，水柱底端为C(图略)，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.【答案】A3.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km.【导学号：18082023】【解析】∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，得AB2＝a2＋a2－2a×a×c