高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）指数函数 校赛得奖

第3课时指数函数的图像与性质（1）一、课前准备1．课时目标（1）了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．（2）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法，以及单调性、奇偶性判断；（3）重点是指数函数的概念和图象，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．2．基础预探1、函数叫做指数函数，其中，是自变量，叫做底数.2、函数的图像和性质（见表）.图像性质（1）定义域，值域.（2）图像都过点.（3）当时，；当时，.（3）当时，；当时，.（4）在上是.（4）在上是.3、指数函数的图像经过点，则底数的值是.4、已知，则函数的图像必不经过象限.二、基本知识习题化1.函数是指数函数，则的值为（）.A.1B.2C.1或2D.任意值2.函数的图象恒过定点（）.A.B.C.D.3.指数函数①，②满足不等式，则它们的图象是（）.4.函数的定义域为.三、学习引领1、一般地，函数叫做指数函数理解指数函数的定义，需注意的几个问题：（1）因为，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R；（2）规定底数且的理由：如果，当时，恒等于0；当时，无意义.如果，比如，这时对于等，在实数范围内函数值不存在.如果，是一个常数，对它就没有研究的必要.为了避免上述各种情况，所以规定且.(3)指数函数底数越大时，函数的图像在轴右侧部分越远离轴，这一性质可通过时的函数值大小去理解.（4）指数函数的图像与性质指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对应关系为（1），（2），（3），（4）则.在轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.(2)指数函数的图像与的图象关于轴对称（3）指数函数（且）的图象均过定点（我们称其为“束点”）.即所有指数函数的图象都经过束点.任何指数函数的图象都在轴的上方，且与轴不相交.（4）当底数由小变大时，指数函数对应的图象好象在绕着束点逆时针方向旋转；（5）、轴和直线把上半坐标平面分成了四个区域：右下区（Ⅰ区）、右上区（Ⅱ区）、左上区（Ⅲ区）、左下区（Ⅳ区）.（1）当时，指数函数的图象穿过Ⅰ、Ⅲ区，底数越小，图象在Ⅰ区越靠近轴，在Ⅲ区越靠近轴；此时，指数函数在其定义域内单调减小，即是单调减函数，且当无限增大时，函数值无限接近于0；（2）当时，指数函数的图象穿过Ⅱ、Ⅳ区，底数越大，图象在Ⅳ区越靠近轴，在Ⅱ区越靠近轴；此时，指数函数在其定义域内单调增加，即是单调增函数，且当无限减小时，函数值无限接近于0.四、典例导析1.有关指数函数的概念：例1指出下列函数哪些是指数函数：（1）；（2）；（3）；（4）且.思路导析：根据指数函数定义进行判断.解析：（1）、（4）为指数函数；（2）是与指数函数的乘积；（3）底数不是常数.根据指数函数的概念，它们都不符合指数函数的定义.规律总结：准确理解指数函数的定义和形式是解好本问题的关键.变式练习：1.指出下列函数哪些是指数函数：（1）；（2）；（3）；（4）；2.指数函数的定义域与值域例2求下列函数的定义域与值域（1）；（2）；思路导析：由于指数函数且的定义域是，所以函数（且）与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.1）由题意得，令得，定义域为且.，∴的值域为且.（2）由题意得，定义域为.且.故的值域为.规律总结：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.变式练习：2.求下列函数的定义域与值域（1）（2）3.指数函数的求值问题：例3已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求思路导析：要求再把0，1，-3分别代入，即可求得解：将点（3，π），代入，得到，，即，解得：，于是，所以，，.规律总结：利用待定系数法求解函数的解析式，再利用函数的解析式求解函数值，利用解析式研究函数的性质是解决函数问题的重要途径.变式练习：3.函数（）且，求,,的值.4.指数函数的单调性：例4用函数单调性定义证明a＞1时，y=ax是增函数.设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2=x1+h(h＞0，h∈R)，则有，∵a＞1，h＞0，∴，∴，即，故y=ax(a＞1)为R上的增函数，同理可证0＜a＜1时，y=ax是R上的减函数.规律总结：对于函数的单调性的判定与证明，可利用函数单调性的定义，设且，若，函数在D上为增函数，若，函数在D上为减函数.变式练习：4.函数在区间上是单调增函数，则的取值 范围是五、随堂练习1.若集合，，则（）A.B.C. D.2.函数在上是减函数，则a的取值范围（）A. B. C. D.3.函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则（）A. B.2 C.4 D.4.下列各不等式中正确的是（）A. B.C. D.5.函数的定义域是，值域是.6.函数的单调递增区间为.7.已知，求函数的值域.六、课后作业1.函数的定义域为（0，1），则的定义域为.2.已知函数的图象过定点.3.求函数，的值域，并求函数的单调区间.4.已知，（1）求的定义域；（2）求证，.指数函数的图像与性质一答案解析一、课前准备2．基础预探1、，2、（1）R，；（2）点，（3）当时，，当时，.（3）当时，；当时，.（4）单调递增函数；单调递减函数。3、；4、第一象限。二、基本知识习题化1.C解析：由题意得.2.D提示：由函数经过点点，则经过点，所以过点.3.C提示：根据函数图像的变化趋势可得图像C符合题意.4.提示：由题意得.四、典例导析变式练习变式练习：1.解析：（3）为指数函数；（1）是幂函数（后面节中将会学习）；（2）底数，不是指数函数；（4）指数不是自变量，而底数是的函数；2.解析：（1）由题意得，定义域为.≥0，故的值域为.（2）由题意得，函数的定义域为，则所以的取值为，即，所以，函数的值域为.3.解析：由题意，即，解得，所以函数的解析式为，所以,,.4、解析：当时，函数在上是单调增函数，则函数在为增函数，所以，故的取值范围是.五、随堂练习1.解析：由，故选A。2.解析：由题意得，故选D。3.解析：由题意得，故选B。4.解析：根据指数函数的性质，答案D成立5.解析：令，即定义域为，值域为。6.解析：由为减函数，所以，函数的单调递增区间为R；7、解：∵，∴∴，，∴