7-3-2 离散型随机变量的方差教案

7.3.2离散型机变量的方差学设计课题

离散型随机变量的方差

单元

第七单元

学科

数学

年级

高二教材分析教学目标与核心素养重点难点

本节内容主要是离散型随机变量的方差生活中的实际情景导入学习求解离散型随机变量的方差的方法，并使用其解决一些实际问.1、数学抽象：利用生活中的实问题，为了比较随机变量取值的离散程度，引入方差的概念及计算方法；2、逻辑推理：通过导入及课堂究逐步培养学生的逻辑思维能力；3、数学建模：掌握离散型随机量方差的一般求解过程，利用其解决实际问题；4、数学运算：能够正确列出随变量的分布列，并计算方差；5、数学分析：通过经历提出问—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密.掌握离散型随机变量方差的计.利用离散型随机变量的方差，解决一些实际问.教学过程教学环节导入新课

教师活动新知导入：情景一：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下两表所示：如何评价这两名同学的射击水平？E(X)=;E(Y)=8因为两个均值相，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和的概率分布图：

学生活动学生思考问题，引出本节新课内容。

设计意图设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。

2222发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。思考：我们如何定量刻画随机变量取值的离散程度？则称)()(1𝑛𝑛𝑛∑𝑖𝑖=1

2

𝑖为随机变量X的方差，有时也记为（X）并√为机变量X的准差，记。讲授新课

新知讲解：随机变量的方差和标准差都可以度量随学根据情境机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变问，探究离量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量散随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取的差值越分散。因此，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来

利用情境问题，探究离散型随机变量的方差，培养学生探索的精神

D(X)刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为D(X))iP))1.077;i(YP(Y0.92,Y)i因为等价地，)，所以随机变量Y的值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。思考：方差的计算可以简化吗？D)

n

(x())i

2

ii

(xi

E()(i

)piii

pE())i

i(X2)E(X))思考离型随机变量X加一个常数方会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？离散型随机变量X加一个常数b仅X的值产生一个平移不变X与均值的散程度方倍，即差保持不变D(X+b)=离型随机变量X乘一常数a,其方差变为原方差的a2D(aX)=aD(X)，因此D(X)例题讲解：例：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差。解：随机变量X的分列为P(X=k)=1/6,k=1,2,3,4,5,6

利用例题引导学生掌握并灵

加深学生对基础知识的掌握，并

,62176,6217626212因为)

72

活运用离散型

能够灵活运用基1∑22222226

随机变量的方差解决实际相

础知识解决具体问题𝑖=1所以∑()𝑖=1例：投资、两种股票，每股收益的分布列分别如表1和2所：

关问题收益X/元概率

-10.1

00.3

20.6收益X/元概率

00.3

10.4

20.3（）资哪种股票的期望收益大？（）资哪种股票的风险较高？解：(1)股票A和票投收益的期望分别为E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因为所投资股票的期望收益较大。（）票A和股票投收益的方差分别D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因为和E(Y)相不大，且D(X)>D(Y),所以资股票比资票B的险。例3:A、两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：次品数ξ

1

0123

22概率P0.70.20.060.04次品数ξ

0123概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好？解：ξ=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,1ξ=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.2它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ2×0.7+(1-0.44)21×0.06+(3-0.44)×0.04=0.6064,Dξ2×0.8+(1-0.44)22×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴ξξ

故机加较定量较.例4：有甲、乙两个单位都愿意用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：E(X1)=1200×××0.2+1800×0.1=1400E(X2)=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400×+(1600-1400××0.1=40000D(X2)=(1000-1400)20.××+(2200-1400×0.l=160000因为E(X1)=E(X2),，以两家单位的

工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤：(1)比较均值．在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等或接近的情况下算方.分析一下谁的水平发挥相对稳.(3)得出结论．依据均值和方差做出判.课堂练习：已知随变量x的布列为

通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用

通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。则Ex与Dx的为D)(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.甲、乙两种冬小麦试验品种连5年的平均单位面积产量如下（单位）表所：则其中产量比较稳定的小麦品种___种．3．已知某运动员投篮命中率p求次投篮命中次数X的期望与方差；解：投篮一次命中次数X的布列为

则＝×0.4×0.6=0.6，D(X)＝－×＋－×＝随变量ξ的取值为

，若，E(ξ，D(ξ)=__0.4__；5.甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区的违规次数ξ的值和方差为：1E(ξ＝×＋×0.3＋×＋×＝1D(ξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2＋－11.3)2×＋－1.3)2×＝乙保护区的违规次数ξ的值方差为：2E(ξ＝×＋×0.5＋×＝2D(ξ＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2＋－21.3)2×＝E(ξ＝E(ξ)，ξξ1212所以甲保护区的管理水平低于乙保护区的管理水平6.已随机变量X的布列为另一随机变量Y=2X-3，，D(Y)解：∵×0.1+2×0.2+3×0.4+4

72311723111222∴∵××0.2+(3-3)2×××0.1=1.2∴D(Y)=22x×拓展提高：7．某投资公司在2019年初准备将1000万投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一源车据场调研到该项目上，到年底可能获利也可能亏损15%且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设据场调研投资到该项目上，到年底可能获利可能损失也能不赔不赚这种情况发生的概率分别为和针5315以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解：若按“项目一”投资，设获利为X万则X的分布列为

1X

1

300

-150P

所以E(X)=300××万)若按“项目二”投资，设获利X万.则X的分布列为X

2

500

-300

0P

15所以E(X×3/5+(××万

1212123512121235535D(X)=(300

×

×2/9=35000D(X)=(5002

×2

×2×1/15=140000所以E(X＝E(X，)<D(X，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综所述，建议该投资公选择项目一投8.随互联网金融的发展多台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条花与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多90后说，他们更习惯提前消.某究机构随机抽取了1000名90后对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概.（）计90后使用蚂蚁花呗的概率；（）所抽取的人用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人随机抽取4人X为中使用蚂蚁花呗的人数，求X的布列及数学期望和方解：（）所以使用蚂蚁花呗的概率为500/1000=0.5（）这8人中使用信用卡的数为8×人蚂蚁花呗的人数为人则随机变量X的取值为12，，4344883343)441488则的布列为

X

1234P

114

37

37

114所以

)

链接高考：9（浙高考真题）设0<p<1随机变量的分布列如图，则当p在0,1)内大时D)X

0

1

2P

D(X)减C.D(X)先小后增大

B.D(X)大D.先增大后减小10（湖高考真题（理袋中有个小相同的球其记上0号有10个记n号有n个n=1,2,3,4).从袋中任取一个球ξ表示所取球的标号(1)求ξ的分布列、期望和方;(2)若ηξηη试a,b的值解：(1)ξ的分布列为：ξ0

1

2

3

4P

所以E(X)=0×1/2+1×1/20+2×1/10+3×3/20+4×1/5=1.5D(X)=(0×1/2+(12×1/20+(2−1.5)2×1/10+(3

−1.5)×3/20+(4−1.5)×1/5=2.75(2)由D(η2D(ξ，a2x2.75=，得a=±2，又η)=aE(ξ，以当时由1=2x1.5+b得b=-