高中数学人教B版2第二章推理与证明合情推理与演绎推理 学业分层测评

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B正确；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错.【答案】B2.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D.“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【解析】由实数运算的知识易得C项正确.【答案】C3.用火柴棒摆“金鱼”，如图2­1­7所示，图2­1­7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()【导学号：37820231】－2 －2＋2 ＋2【解析】从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【答案】C4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】D5.(2023·南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是()A.(2，10) B.(10，2)C.(3，5) D.(5，3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).【答案】A二、填空题6.把正数排列成如图2­1­8甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图2­1­8乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2017，则n＝__________.12345678910111213141516甲12457910121416乙图2­1­8【解析】图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有eq\f(k（k＋1）,2)个数，由44×44＝1936，45×45＝2025知an＝2017出现在第45行，第45行第一个数为1937，第eq\f(2017－1937,2)＋1＝41个数为2017，所以n＝eq\f(44（44＋1）,2)＋41＝1031.【答案】10317.二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr48.已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________.【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答题9.已知数列eq\f(8×1,12×32)，eq\f(8×2,32×52)，…，eq\f(8×n,（2n－1）2（2n＋1）2)，…，Sn为其前n项和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出Sn的公式.【解】S1＝eq\f(8×1,12×32)＝eq\f(8,9)＝eq\f(32－1,32)＝eq\f(（2×1＋1）2－1,（2×1＋1）2)，S2＝eq\f(8,9)＋eq\f(8×2,32×52)＝eq\f(24,25)＝eq\f(52－1,52)＝eq\f(（2×2＋1）2－1,（2×2＋1）2)，S3＝eq\f(24,25)＋eq\f(8×3,52×72)＝eq\f(48,49)＝eq\f(72－1,72)＝eq\f(（2×3＋1）2－1,（2×3＋1）2)，S4＝eq\f(48,49)＋eq\f(8×4,72×92)＝eq\f(80,81)＝eq\f(92－1,92)＝eq\f(（2×4＋1）2－1,（2×4＋1）2)，由此归纳猜想Sn＝eq\f(（2n＋1）2－1,（2n＋1）2).10.在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值eq\f(\r(3),2)a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值eq\f(\r(6),3)a.证明：设M是正四面体P­ABC内任一点，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VP­ABC＝VM­ABC＋VM­PAB＋VM­PAC＋VM­PBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，VP­ABC＝eq\f(\r(2),12)a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝eq\f(\r(6),3)a(定值).[能力提升]1.根据给出的数塔，猜测123456×9＋7等于()【导学号：37820232】1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝11111；12345×9＋6＝111111；111110 111111111112 111113【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111，故选B.【答案】B2.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则eq\f(AG,GD)＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则eq\f(AO,OM)＝() 【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)⇒r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【答案】C3.如图2­1­9所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当eq\o(FB,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))时，其离心率为eq\f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_______________________.图2­1­9【解析】如图所示，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，所以eq\o(FB,\s\up7(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－a，b).又因为eq\o(FB,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(FB,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去).【答案】eq\f(1＋\r(5),2)4.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαco