高中数学人教A版3第二章随机变量及其分布单元测试-参赛作品

选修2-3第二章2.一、选择题1．(2023·烟台高二检测)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝eq\x(导学号03960388)()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)[答案]B[解析]P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).由条件概率公式得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,4).故选B．2．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是eq\x(导学号03960389)()A．eq\f(5,6) B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).3．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是eq\x(导学号03960390)()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[答案]C[解析]设Ai表示第i次(i＝1、2)取到白球的事件，因为P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A1A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)，在放回取球的情况下：P(A2|A1)＝eq\f(\f(4,25),\f(2,5))＝eq\f(2,5).4．(2023·大连高二检测)一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为eq\x(导学号03960391)()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[答案]B[解析]有一个是女孩记为事件A，另一个是女孩记为事件B，则所求概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).5．(2023·辽阳高二检测)在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是eq\x(导学号03960392)()A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]设第一次抽到数学题为事件A，第二次抽到数学题为事件B，由已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,2).6．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是，开关了15000次后还能继续使用的概率是，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是eq\x(导学号03960393)()A． B．C． D．[答案]A[解析]记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝，P(B)＝，则P(A∩B)＝，由条件概率的计算方法，可得P＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f,＝.二、填空题7．甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%.eq\x(导学号03960394)(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________．(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________．[答案](1)eq\f(2,3)(2)[解析]设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则P(A)＝20%＝，P(B)＝18%＝，P(AB)＝12%＝.(1)P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f,＝eq\f(2,3).(2)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f,＝.8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为\x(导学号03960395)[答案]eq\f(95,99)[解析]设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,95),A\o\al(2,100))＝eq\f(19,396)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(95,99).9．设P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，则P(B)等于\x(导学号03960396)[答案]eq\f(1,3)[解析]∵P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)，∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴P(B)＝eq\f(PA∩B,PA|B)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).三、解答题10．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率.eq\x(导学号03960397)[解析]令Ai＝{第i只是好的}，i＝1,2.解法1：n(A1)＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,9)，n(A1A2)＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)，故P(A2|A1)＝eq\f(nA1A2,nA1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,6)C\o\al(1,9))＝eq\f(5,9).解法2：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(1,9))＝eq\f(5,9).一、选择题1．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是eq\x(导学号03960398)()A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)[答案]C[解析]从5个球中任取两个，有Ceq\o\al(2,5)＝10种不同取法，其中两球同色的取法有Ceq\o\al(2,3)＋1＝4种，∴P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．(2023·沈阳高二检测)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是eq\x(导学号03960399)()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)[答案]A[解析]解法1：设A＝“第一次取到二等品”，B＝“第二次取得一等品”，则AB＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(2×3,5×4),\f(2×3＋3×2,5×4))＝eq\f(1,2).解法2：设一等品为a、b、c，二等品为A、B，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)共12个，其中第一次取到二等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).二、填空题3．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为\x(导学号03960400)[答案]eq\f(33,50)[解析]解法1：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为eq\f(33,50).解法2：设A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的数是2或3的倍数”，则P(A)＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(33,100)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(33,50).4．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为\x(导学号03960401)[答案]eq\f(11,30)[解析]解法1：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11种，∴所求概率P＝eq\f(11,30).解法2：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(11,36)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(11,30).三、解答题5．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表.eq\x(导学号03960402)(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．[解析]设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)解法1：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).解法2：P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,15).6．设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计).eq\x(导学号03960403)(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求X的分布列；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．[解析](1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0没有实根”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有两个相异实根”为事件C，则Ω＝{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，A＝{(b，c)|b2－4c<0，b，c＝1,2，…B＝{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…C＝{(b，c)|b2－4c>0，b，c＝1,2，…∴Ω中的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个．又∵B、C是互斥事件，故所求概率P＝P(B)＋P(C)＝eq\f(2,36)＋eq\f(17,36)＝