高中数学北师大版第三章三角恒等变形 同课异构

23两角和与差的正弦余弦函数2时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知a＝sin10°＋cos10°，b＝sin20°＋cos20°，c＝eq\f(\r(6),2)，则a、b、c的大小关系为()A．a<c<bB．a<b<cC．c<b<aD．b＜a＜c答案：A解析：a＝eq\r(2)sin55°<eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(6),2)，b＝eq\r(2)sin65°>eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(6),2).2．已知sinα＋sinβ＋sin1＝0，cosα＋cosβ＋cos1＝0，则cos(α－β)＝()A．－1B．1C．－eq\f(1,2)\f(1,2)答案：C解析：原式变为sinα＋sinβ＝－sin1①cosα＋cosβ＝－cos1②①②平方相加得cos(α－β)＝－eq\f(1,2).3．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，则()A．y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递增，其图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称B．y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递增，其图像关于直线x＝eq\f(π,2)对称C．y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递减，其图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称D．y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递减，其图像关于直线x＝eq\f(π,2)对称答案：D解析：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x.则函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递减，其图像关于x＝eq\f(π,2)对称．4．已知锐角α，β满足cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，则cos(2π－β)的值为()\f(33,65)B．－eq\f(33,65)\f(54,65)D．－eq\f(54,65)答案：A解析：∵α，β为锐角，cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，∴sinα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(33,65).5．若sinα＋sinβ＝eq\f(\r(2),2)，则cosα＋cosβ的取值范围是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－2,2]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，\f(\r(14),2)))答案：D解析：设cosα＋cosβ＝x，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝eq\f(1,2)＋x2，即2＋2cos(α－β)＝eq\f(1,2)＋x2，∴x2＝eq\f(3,2)＋2cos(α－β)．显然，当cos(α－β)取得最大值时，x2有最大值．∴0≤x2≤eq\f(7,2)即－eq\f(\r(14),2)≤x≤eq\f(\r(14),2).6．设α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，α＋β的大小为()A．－135°B．45°C．135°D．45°或135°答案：B解析：cos(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，∵α＋β∈(0°，180°)，∴α＋β＝45°.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.答案：cos1°解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)＝cos1°.8．已知α是第二象限角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(3,5)，则cosα＝________.答案：－eq\f(4＋3\r(3),10)解析：因为α是第二象限角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(3,5)<0，所以α＋eq\f(π,3)是第三象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(4,5)，所以cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).\f(2sin80°－cos70°,cos20°)＝__________.答案：eq\r(3)解析：原式＝eq\f(2sin20°＋60°－sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°＋sin20°－sin20°,cos20°)＝eq\r(3).三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋eq\f(π,2)，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝2tanα.证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.整理，得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.∴α≠kπ＋eq\f(π,2)，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．将上式两边同除以cosα·cos(α＋β)，得tan(α＋β)＝2tanα.11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).求cos(α－β)的值．解析：依题意，得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5).因为α，β为锐角，所以sinα＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\f(\r(5),5)，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(2),10)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(9\r(10),50).12．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，β＝eq\f(π,4)，且a·b＝eq\f(3,5)，求sinα.解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.即(a＋b)⊥(a－b)．(2)由已知a·b＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))且a·b＝eq\f(3,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(3,5).由－eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,4)，得－eq\f(π,2)＜α－eq\f(π,4)＜0.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝－eq\f(4,5).∴sinα＝sineq