高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语充分条件与必要条件 第1章3

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．【答案】A2．已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2”，则命题甲是命题乙的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件．【答案】A3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”【导学号：15460014】A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】A4．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】B5．(2023·甘肃临夏期中)已知函数f(x)＝x＋bcosx，其中b为常数，那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当b＝0时，f(x)＝x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，∴－x＋bcosx＝－x－bcosx，从而2bcosx＝0，b＝0.【答案】C二、填空题6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】必要不充分7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”【解析】若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．【答案】充要8．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数”的________．【解析】(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数”的充分不必要条件．【答案】(1)③(2)①三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)在△ABC，p：sinA>eq\f(1,2)，q：A>eq\f(π,6).【解】(1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．(2)因为A∈(0，π)时，sinA∈(0,1]，且A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y＝sinA单调递增，A∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，y＝sinA单调递减，所以sinA>eq\f(1,2)⇒A>eq\f(π,6)，但A>eq\f(π,6)sinA>eq\f(1,2).所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．10．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．【证明】充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccosA可得1＋2cosA＝eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB).即sinB＋2sinBcosA＝sin(A＋B)．化简得sinB＝sin(A－B)．由于sinB＞0且在三角形中，故B＝A－B，即A＝2B.必要性：若A＝2B，则A－B＝B，sin(A－B)＝sinB，sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsin B．∴sin(A＋B)＝sinB(1＋2cosA)．∵A，B，C为△ABC的内角，∴sin(A＋B)＝sinC，即sinC＝sinB(1＋2cosA)．∴eq\f(sinC,sinB)＝1＋2cosA＝1＋eq\f(b2＋c2－a2,bc)＝eq\f(b2＋c2－a2＋bc,bc)，即eq\f(c,b)＝eq\f(b2＋c2＋bc－a2,bc).化简得a2＝b(b＋c)．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．[能力提升]1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但AD，故选A.【答案】A2．设有如下命题：甲：两相交直线l，m在平面α内，且都不在平面β内；乙：l，m中至少有一条与β相交；丙：α与β相交．那么当甲成立时()A．乙是丙的充分不必要条件B．乙是丙的必要不充分条件C．乙是丙的充分必要条件D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】当l，m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l，m中也至少有一条与β相交，否则若l，m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与已知α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.【答案】C3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________.【导学号：15460015】【解析】因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以2－t<－1，即t>3.【答案】(3，＋∞)4．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.【证明】充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，显然，当n＝1时，也成立．因为p≠0，且p≠1，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，即数列{an}为等比数列，必要性：当n＝1时，a1＝