高中数学北师大版第二章函数简单的幂函数 第2章52

第二章§5第2课时A级基础巩固1．下列说法中不正确的是eq\x(导学号00814454)(B)A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图像一定过原点C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数个D．图像关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数[解析]∵奇函数的图像不一定过原点，如y＝eq\f(1,x)，故应选B．2．已知函数f(x)＝x4，则其图像eq\x(导学号00814455)(B)A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称[解析]∵f(－x)＝x4＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称．3．下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是eq\x(导学号00814456)(B)4．(2023·清海西宁模拟)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c的图像如图所示，则f(a)＋f(－a)eq\x(导学号00814457)(B)A．大于0 B．等于0C．小于0 D．以上结论都不对[解析]由图像可知f(0)＝0，∴c＝0.于是f(x)＝ax3＋bx为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝f(a)－f(a)＝0.5．函数f(x)＝eq\r(3,x)＋x－1，若f(a)＝2，则f(－a)＝eq\x(导学号00814458)(D)A．－2 B．2C．1 D．－4[解析]令g(x)＝eq\r(3,x)＋x，则g(x)为奇函数．∵f(a)＝g(a)－1＝2，∴g(a)＝3.∴f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－4，故选D．6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是eq\x(导学号00814459)(B)A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}[解析]x>0时f(3)＝－f(－3)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)内是增加的，∴x∈(0,3)时f(x)<0，又∵f(x)为奇函数．当x<0时，只有x∈(－∞，－3)时，f(x)<0，故选B．7．(2023·全国卷Ⅱ文，14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝\x(导学号00814460)[解析]∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－12，∴f(2)＝12.8．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝xf(x)(x∈R)，则f(1)＝\x(导学号00814461)[解析]令x＝－1，则f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(－1)，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.9．判断下列函数的奇偶性：eq\x(导学号00814462)(1)f(x)＝x3＋x2；(2)f(x)＝0；(3)f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－xx>0,x1＋xx<0))；(5)f(x)＝eq\f(\r(1＋x2)＋x－1,\r(1＋x2)＋x＋1).[解析](1)函数的定义域为R，它关于原点对称，但f(－x)＝－x3＋x2与－f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)＝x3＋x2为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R，它关于原点对称，因为f(－x)＝0，f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)同时成立．所以f(x)＝0既是奇函数又是偶函数．(3)函数的定义域为R，f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2＝x3＋3x，f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．(4)定义域为{x∈R，x≠0}，而当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)；∴f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数．(5)解法1：函数的定义域为实数集R，且f(－x)＋f(x)＝eq\f(\r(1＋x2)－x－1,\r(1＋x2)－x＋1)＋eq\f(\r(1＋x2)＋x－1,\r(1＋x2)＋x＋1)＝eq\f([\r(1＋x2)2－x＋12]＋[\r(1＋x2)2－x－12],\r(1＋x2)＋12－x2)＝eq\f(－2x＋2x,2\r(1＋x2)＋2)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)在R上是奇函数．解法2：当x≠0时，f(x)≠0，此时eq\f(f－x,fx)＝eq\f(\f(\r(1＋x2)－x－1,\r(1＋x2)－x＋1),\f(\r(1＋x2)＋x－1,\r(1＋x2)＋x＋1))＝eq\f(\r(1＋x2)－x－1\r(1＋x2)＋x＋1,\r(1＋x2)－x＋1\r(1＋x2)＋x－1)＝eq\f(\r(1＋x2)2－x＋12,\r(1＋x2)2－x－12)＝eq\f(－2x,2x)＝－1，即f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，f(－0)＝0＝－f(0)．∴f(x)在R上为奇函数．10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减少的，若f(a)≥f(2)，求实数a的取值范围.eq\x(导学号00814463)[解析]解法1：因为y＝f(x)在R上为偶函数，且在(－∞，0]上是减少的，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上为增加的．①当a≥0时，因为f(a)≥f(2)，所以a≥2.②当a≤0时，因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)．又因为f(a)≥f(2)，所以f(a)≥f(－2)．而f(x)在(－∞，0]上为减少的，所以a≤－2.由①②可得a≤－2或a≥2.解法2：因为f(x)在R上为偶函数且在(－∞，0]上为减少的，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是增加的．因此由f(|a|)＝f(a)≥f(2)得|a|≥2，解得a≤－2或a≥2.即a的取值范围为a≤－2或a≥2.B级素养提升1．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝eq\x(导学号00814464)(C)A．－3 B．－1C．1 D．3[解析]∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，①又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.2．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是eq\x(导学号00814465)(D)A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2)C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)[解析]∵函数y＝f(x＋2)为偶函数，令g(x)＝f(x＋2)，∴g(－x)＝f(－x＋2)＝g(x)＝f(x＋2)，∴f(x＋2)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，又∵函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，∴在(－∞，2)上为减函数，利用距对称轴x＝2的远近可知，f(0)>f(1)，f(0)>f(2)，f(1)>f(2)，f(1)＝f(3)．3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝__eq\f(1,3)__，b＝\x(导学号00814466)[解析]∵f(x)是定义域为[a－1,2a]的偶函数，∴a－1＝－2a，∴a＝eq\f(1,3).又f(－x)＝f(x)，即eq\f(1,3)x2－bx＋1＋b＝eq\f(1,3)x2＋bx＋1＋b，∴b＝0.4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0<x≤1时，f(x)＝x，则f的值为_－\x(导学号00814467)[解析]∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f＝f＋2)＝－f＝－f＋2)＝f＝f＋2)＝－f＝－f(－＋2)＝f(－，又f(x)为奇函数，∴f(－＝－f＝－.5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围.eq\x(导学号00814468)[分析]已知条件较多，充分利用已知条件：f(1－m)<f(m)，则f(|1－m|)<f(|m|)．[解析]因为f(x)在[－2,2]上为偶函数，f(1－m)<f(m)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f|1－m|<f|m|，,－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|1－m|<|m|，,－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，))解得eq\f(1,2)<m≤2.6．(1)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较f(－eq\f(7,8))与f(1)的大小；(2)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式.eq\x(导学号00814469)[解析](1)∵－1<－eq\f(7,8)，且函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，∴f(－1)<f(－eq\f(7,8))．又∵y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)<f(－eq\f(7,8))．(2)由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②①＋②得2f(x)＝2x2－4，∴f(x)＝x2①－②得2g(x)＝2x，∴g(x)＝xC级能力拔高已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)(a、b、c∈Z)是奇函数，并且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、\x(导学号00814470)[分析]根据定义，应使f(x)＋f(－x)＝0对定义域内的任意x恒成立的式子即为恒等式．[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(ax2＋1,－bx＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，∴eq\f(ax2＋1bx＋c－bx＋c,－bx＋c