2021高考数学复习专题 空间点、直线、平面之间的位置关系(文 精讲)

ππ专题8.3

空间点、线、平面之的位置关系【情析1.理解空间直线、平面位置关系定义；2.了解可以作为推理依据的公理定理；3.能运用公理、定理和已获得的论证明一些空间位置关系的简单命.【点识理知点平面基性(1)公理：果一条直线上的点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理：不在一条直线上三点，有且只有一个平注：三点不一定能确定一个平．推论：经过一条直线和直线外点，有且只有一个平面．推论：经过两条相交直线，有只有一个平面．推论：经过两条平行直线，有只有一个平面．(3)公理：果两个不重合的面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．知点空间两线位关(1)空间中两直线的位置关系共面直异面直线：不同在任何一个平面内(1)两条异面直线不能确定一个面．(2)不能把异面直线误解为分别不同平面内的两条直.(2)异面直线所成的角①定义：设，是条异面直线，经过空间任一点O作线a′①，′①，把与b所的锐角或角叫做异面直线a成的角或夹．①范围：，.2(3)公理：行于同一条直线两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的边分别对应平行，那么

这两个角相等或互补．(1)如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这

两个角互补．(3)如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．知点空间直与面平与面位关系(1)直线与平面的位置关系有相、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平、相交两种情况．【识备1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条线与已知平面垂直．2．异面直线的两个结论(1)平面外一点A与面内一点B的线和平面内不经过点B的线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直平行或异面．【型分】高考一

平的本质应【例】（2020·湖襄阳五中模拟）以下命题中，正确命题的个数(①不共面的四点中，其中任意点不共线；①若点A，，D共，A，共面，则A，C，共面；①若直线a，共面，直线a，共面，则直线，c面；①依次首尾相接的四条线段必面．A．B．．．【方法技巧】证明点线共面问题的两种方法(1)先由所给条件中的部分或点)确定一个平面，然后再证其的线()在这个平面内(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重.证明点线问题的两种方法：先两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证

111111明这些点都在同一条特定直线如某两个平面的交线上证明线点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该.【变式探究】（2020·江启东中学模拟）如图，正方体ACD中，，分是AB和AA的中点．求证：

1①，，，四点共面；1①，FDA三线共点．1高考二

判空直的置系【例2【全国Ⅲ卷】如图，点N为方形ABCD的心eq\o\ac(△,，)为三角形，平面⊥面ABCD，M是段ED中点，()ABM，且直线BMEN是相交直线B．BM，直线BM，是相交直线C．BM=，且直线BM是异面直线D．EN且直线BM，是异面直线【方法技巧】异面直的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异.(2)定理：平面外一点与平面内一点的线和平面内不经过点B的线是异面直.点、线面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系。

11111111111111111【变式探究】（2020·四绵阳中学模拟）如图，在正方体BCD中点E，分在A，AC上且E＝ED＝，EF与BD的置关系()11A．交不垂直B相交且垂直C异面D．行高考三

异直所的【例浙卷图棱台ABC中①ACB①ACD=45°．（）明①DB（）DF与面DBC所角的正弦值．【变式探究全国Ⅱ卷在长方体－ABD中＝＝，AA＝3则异面直线AD与DB所角的余弦值)

1

52C.D.52【方法技巧】用平移法求异面直线所成角的一般步骤：

11111111111(1)作角用移法找或作)出符合题意的角；(2)求角转为求一个三角形内角，通过解三角形，求出角的大.【举一反三(2018·全卷Ⅱ)在正方体－D中，E为棱CC的点，则面直线与所成角的切值()C.

【变式探究宁大连模拟）如图，在长方体ABCDBD中＝，＝，＝，是的点，则异面直线与PD所的角等()A．C60°

B．45°D．专题8.3

空间点、线、平面之的位置关系【情析1.理解空间直线、平面位置关系定义；2.了解可以作为推理依据的公理定理；3.能运用公理、定理和已获得的论证明一些空间位置关系的简单命.【点识理知点平面基性(1)公理：果一条直线上的点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理：不在一条直线上三点，有且只有一个平注：三点不一定能确定一个平．推论：经过一条直线和直线外点，有且只有一个平面．推论：经过两条相交直线，有只有一个平面．推论：经过两条平行直线，有只有一个平面．

ππ(3)公理：果两个不重合的面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．知点空间两线位关(1)空间中两直线的位置关系共面直异面直线：不同在任何一个平面内(1)两条异面直线不能确定一个面．(2)不能把异面直线误解为分别不同平面内的两条直.(2)异面直线所成的角①定义：设，是条异面直线，经过空间任一点O作线a′①，′①，把与b所的锐角或角叫做异面直线a成的角或夹．①范围：，.2(3)公理：行于同一条直线两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的边分别对应平行，那么

这两个角相等或互补．(1)如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．(3)如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．知点空间直与面平与面位关系(1)直线与平面的位置关系有相、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平、相交两种情况．【识备1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条线与已知平面垂直．2．异面直线的两个结论(1)平面外一点A与面内一点B的线和平面内不经过点B的线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直平行或异面．

11111【型分】高考一

平的本质应【例】（2020·湖襄阳五中模拟）以下命题中，正确命题的个数(①不共面的四点中，其中任意点不共线；①若点A，，D共，A，共面，则A，C，共面；①若直线a，共面，直线a，共面，则直线，c面；①依次首尾相接的四条线段必面．A．．．．【答案B【解析①正，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与共面的四点矛盾中若点A，在同一条直线上，则A，，，D不定共面，故错误；①，直线bc可是异面直线，故①错；①，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不面，①误．【方法技巧】证明点线共面问题的两种方法(1)先由所给条件中的部分或点)确定一个平面，然后再证其的线()在这个平面内(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重.证明点线问题的两种方法：先两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线如某两个平面的交线上证明线点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该.【变式探究】（2020·江启东中学模拟）如图，正方体ACD中，，分是AB和AA的中点．求证：

1①，，，四点共面；1

1111111111111①，FDA三线共点．1【证明】①如图，连接，CD，B.①，分是AB，的点，1①①BA.1又AB①C①EF①，①，，，四点共面．1①①①，<CD，11①与DF必交，设交点为P，1则由①线CE，①面ABCD，得P平面.同理①面A.又平面∩平面ADDA＝，①①线，①，DFDA三共点．1高考二

判空直的置系【例2【全国Ⅲ卷】如图，点N为方形ABCD的心eq\o\ac(△,，)为三角形，平面⊥面ABCD，M是段ED中点，()

1111111111ABM，且直线BMEN是相交直线B．BM，直线BM，

是相交直线C．BM=，且直线BM是异面直线D．EN且直线BM，是异面直线【答案B【解析】如图所示，作

EOCD

于

O

，连接ON，，得直线，是角形EBD的线，是相交直线过作OD于F，接BF，平面

平面

平面

CDE

平面

ABCD

平面

ABCD

，MFB

△EON均为直角三角．设正方长为2易知EO3,EN2，5BF,BM，BM

，故选B．【方法技巧】异面直的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异.(2)定理：平面外一点与平面内一点的线和平面内不经过点B的线是异面直.点、线面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系。【变式探究】（2020·四绵阳中学模拟）如图，在正方体BCD中点E，分在A，

11111111AC上且E＝ED＝，EF与BD的置关系()11A．交不垂直B相交且垂直C异面D．行【答案D【解析】连接E并长，与AD交点，由EED，可得为AD的点，连接BF并长，交AD于N因为CF＝，可得N为的点，所以，重合，所以EF和MEMF1MEMFBD共，且＝，＝，以＝，所以①，选D.ED2ED11高考三

异直所的【例浙卷图棱台ABC中①ACB①ACD=45°．

（）明①DB（）DF与面DBC所角的正弦值．【答案证明见解析）【解析】

（）作

AC

交

于H，接BH．①平面ADFC平面，而平面ADFC

平面ABCAC，平面ADFC，①DH面

，而

平面

，即有

．①

ACBACD45

，①

CD

22CHBC．在

CBH

中BH

2

CH

2

BC

2

cos45

2

有

2

BC

2

CH

2

BHBC

．由棱台的定义可知，

EF/

，所以DHEF，BHEF，

H

，①EF面BHD，而平BHD，①EF（）因为//CH

，所以DF与面

DBC

所成角即为与

CH

平面

DBC

所成角．作HGBD于G，接CG，（）知，⊥平面，因为所以平面

平面而平面

平面BHD

，HG

平面，①HG面BCD．即

CH

在平面

DBC

内的射影为，

即为所求角．在△HGC

中，设

BC

，则CH，HG

BH2aBD3a

，

111111→→1111ADDB1111111→→1111ADDB11①

HG13CH

．故与面所角的正弦值为

．【变式探究全国Ⅱ卷在长方体－ABD中＝＝，AA＝3则异面直线AD与DB所角的余弦值)

1

52C.D.52【答案C【解析】以D为坐标原点，，DD所直线分别为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，