高中数学人教A版1本册总复习总复习 课后提升作业二十五

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业二十五生活中的优化问题举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为() 【解析】选A.设长方体的底面边长为xm,则高为(6-2x)m,所以0<x<3,则V=x2·(6-2x)=6x2-2x3,V′=12x-6x2,令V′=0得x=2或x=0(舍),所以当x∈(0,2)时,V是增函数,当x∈(2,3)时,V是减函数,所以当x=2时,Vmax=4×2=8(m3).2.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为()m,16m m,16mm,8m m,8m【解析】选B.如图所示,设场地一边长为xm,则另一边长为512xm.因此新墙总长度L=2x+512L′=2-512x因为L在(0,+∞)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以512x故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,2.再用导数求最值.3.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,,若使银行获得最大收益,则x的取值为()2 4 3 6【解析】选B.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是,其中x∈(0,.所以银行的收益是y=(0<x<,则y′=.令y′=0,得x=或x=0(舍去).当0<x<时,y′>0;当<x<时,y′<0.所以当x=时,y取得最大值,即当存款利率为时,银行获得最大收益.4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高应为()2033 20【解析】选A.设高为xcm,则底面半径为400-所以圆锥体积V=13π·(400-x2=π(400x-x3)3令V′=0,得x=2033或x=经判断可得x=2035.(2023·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为()A.3V B.32V C.34V【解析】选C.如图,设底面边长为x(x>0),则底面积S=34x2所以h=VS=4S表=x·4V3x2×3+34x2×2=4S′表=3x-43Vx2,令S′因为S表只有一个极值,故x=34V6.把一个周长为12cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为()∶2 ∶π ∶1 ∶π【解析】选C.设圆柱高为x,底面半径为r,则r=6-x2π,圆柱体积V=π=14π(x3-12x2V′=34π当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长∶高=4∶2=2∶1.7.三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为() C.43 D.【解析】选=13×2x22·y=x2V′=6x-3x2令V′=0,得x=2或x=0(舍去),所以x=2时,V最大为438.(2023·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=-x是() 【解析】选D.因为总利润p(x)=-当0≤x≤390时,p′(x)=-1300x2+30令p′(x)=0,得x=±300,当x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增,当x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减,所以当x=300时,p(x)有最大值40000元,当x>390时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,所以当x=300时,总利润最大.【补偿训练】某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)=1200+275x3万件 万件万件 万件【解析】选B.设单价为a万元,由题意知a2=kx且502=k100,所以k=502×100=25×10所以a2=25×104x,总利润y=a·x-C(x)=500x·x-1200+275x3=500×y′=250x

-12-令y′=0得x=25,所以产量定为25万件时总利润最大.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·河源高二检测)把长为60cm的铁丝围成矩形,长为,宽为时,矩形的面积最大.【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,此时S=x·(30-x)=30x-x2,S′=30-2x=0,所以x=15.所以长为15cm,宽为15cm时,矩形的面积最大.答案:15cm15cm【补偿训练】若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为百万件.【解析】依题意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当0<x<3时,y′>0;当x>3时,y′<0.因此,当x=3时,该商品的年利润最大.答案:310.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=k1x,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k于是由2=k110得k1=20;由8=10k2得k2=所以两项费用之和为y=20x+4y′=-20x2+45得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y′<0;当x>5时,y′>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2023·韶关高二检测)已知A,B两地相距200km,一只船从A地逆水行驶到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12km/h,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?【解析】设每小时的燃料费为y1元,比例系数为k(k>0),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,所以720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y元,由题意y=y1·200v-8=1所以y′=2=1000令y′=0,得v=16,所以当v0≥16,v=16km/h时全程燃料费最省,ymin=32000(元);当v0<16,v∈(8,v0]时,y′<0,即y在(8,v0]上为减函数,所以当v=v0时,ymin=1000综上,当v0≥16,v=16km/h时,船的实际速度为16-8=8(km/h),此时全程燃料费最省,为32000元;当v0<16,v=v0时,船的实际速度为(v0-8)km/h,此时全程燃料费最省,为1000【误区警示】忽视定义域致错本题在解题过程中容易忽视定义域,误以为v=16时取得最小值.本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内.12.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6<x<11),年销量为u万件,若已知5858-u与x(1)求年利润y万元关于售价x的函数关系式.(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.【解析】(1)设5858-u=kx因为售价为10元时,年销量为28万件,所以5858-28=k10所以u=-2x-21=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).(2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,显然,当x∈(6,9)时,y′>0;当x∈(9,11)时,y′<0.所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.所以当x=9时,ymax=135,所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.【补偿训练】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8m2,问:x,y分别是多少时用料最省?(精确到【解析】依题意,有xy+12·x·x所以y=8-x24x=8于是框架用料长度为l=2x+2y+22x2=32l′=32+2-16解得x1=8-42,x2=42-8(舍去).当0<x<8-42时,l′<0;当8-42<x<42时,l′>0,所以当x=8-42时,l取得最小值,此时,x=8-42≈(m),y≈.即当x为,y为时,用料最省.【能力挑战题】请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?最大体积是多少?【解题指南】帐篷可看做一个正六棱锥与一个正六棱柱的组合体.【解析】设OO1为xm,则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长为32-(x-1)于是底面正六边