2021朝阳区高三理科数学期末试题及答案

2021朝阳高三理数学期试题及案数学试卷（理工类）

．（考试时刻120分钟

满分分第一部（选择题共分）一、选择题本大题共8小题，小题5，共40在每小题给出的四个选项中，选出符合题要求的一项．．已知集合，则MxA

0x

B

x．x

D

．复数

i(1

（

i

是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A

(1,1)

B

(

．

D

(．执行如图所示的程序框图，则输出的

i

值为

开始A

B

4

C．

．

m=1,i=1mm-iii+1m是输出i终止第图

否．在一段时刻内有2000辆通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～，试

估量2000车中这时刻内以正常速度通过该处的汽车约有A30辆B辆C．170辆D．1700辆

频率组距130车（km/h）第图．“

a

”

是“函数

f(x)

在

R

上单调递增”的A．充分不必要条件C．分必要条件

B必要不充分条件D．不分也不必要条件．已点Q(2及物线

x

上一动点x,)，yPQ的最小值是A．

12

B．．D．．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A．27B．C．32D．36

正视图

侧视图俯视图第题图．设函数

x)

的定义域D，如存在正实数，得对任意D，有f(f(x)

，则称

(x)为D上“m型函数．已知函数

(x)

是定义在R上的奇函数，且当时，f()x（a

x)为R上“型函数实的值范畴是Aa

B

C．a

D．a第部（选题共）二、填空题：本大题共6小题，小题5分，共30．把答案填在答题卡上．

．函数)的小正周是，小值是．6．若x

，y满约束条件

21的大值为．．在各项均为正数的等比数列

中，若

a

2，a

2

的最小值是．．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．．已知B

为圆

:(xm)y)2

(,nR)上个不同的点（

C

为圆心满

CA，则

．．已知点在ABC的部，且有xOA0，AOB,

的面积分别为

，

，

．若，则

:S

:S

；若x2,

，则

:S

:S

．三、解答题：本大题共6小题，80分解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程．．（本小题满分13分某中学高一年级共个班，现从高一年级选10同学组成社区服务小组，其中高一（）班选取同学，其它各班各选取1名同学．现从这名学中随机选取名学，到社区老年心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为出同学中高一）班同学的人数，求机变量X分布列和数学期望．小题满分13分如图，在

中，点

D

在

边上，

7CADAC42

，

cos

210

．（Ⅰ）求sinC的；（Ⅱ）若求ABD的积．小题满分13分）如图，在四棱锥P中，面

B

APDEFD

A

B

ABCD

是菱形，且

DAB

．点

E

是棱

PC

的中点，平面

ABE

与棱

PD

交于点

F

．（Ⅰ）求证：

AB

∥

EF

；（Ⅱ）若

PAPDAD

，且平面

PAD面求平面与平面AFE所的锐二面角的余弦值．．（本小题满分14分已知函数()ln,中aR．（Ⅰ）若f(x)在间[上增函数，求的值范围；（Ⅱ）当a时（ⅰ）证明：f()；（ⅱ）试判定方程f()．（本小题满分14分

ln3是否有实数解，并说明理由．已知圆

Ox

2

的线l与圆

:

2

y

2

相于，B两．（Ⅰ）求椭圆的心；（Ⅱ）求证：OA；（Ⅲ）求

OAB

面积的最大值.．（本小题满分13分已知有穷数列：

a,,13

,a(*kk

的各项均为正数，且满足条件：①

1k

；②

an

2an

n

1an

(n1,2,3,

,k

．（Ⅰ）若

k1

，求出那个数列；（Ⅱ）若4，a的有取值的集合；1（Ⅲ）若k偶数，求a的大值（用示）．1

ππ数学答案（理工类）

．一选题（分40分）题号答案

A

D

B

D

A

C

A

B二填题（分30分）题号

1011121314答案

，

4

1:1:14:2:3（注：两空的填空，第一空3分第二空2分）三、解答题：（满分80分）．（本小题满分13分解：Ⅰ）设“选出的3名学来自不同班级”为事件A，则CP()33.C310因此选出的3名同学来自班级的概率为

4960

．………5分（Ⅱ）随机变量X的有可能值为0，1，3，则P(X0)

C037C310

；P(X710

；P(X2)

C2C337；PX3C310

．因此随机变量X分布列是X

23P

724

2140

740

1120随机变量X的学期望(X)

7217124404012010

．……13分小题满分13分）解：（Ⅰ）因为

cos

2，因此1010

．又因为

4

，因此．

22因此

sinCsin()sinADB444

724101025

．………………7分（Ⅱ）在ACD

中，由

ACCsin

，得

AD

74ACC2sinADC7

．10因此

11ADADB2210

．………分小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面是形，因此AB∥CD又因为

AB

面

，

CD

面

，因此

AB

∥面

．又因为A,B,E,F四共面，且平面

ABEF

平面

PCD

，因此AB∥EF．…（Ⅱ）取

AD中G，连接GB．

P因为PD，此．

F

E又因为平面PAD面ABCD，且平面平ABCD，

G

因此面ABCD因此．在菱形中，因为AD，DABGAD中，AD因此．

x

A

B

y，如图，建立空间直角坐标系xyz则A(a,0,0)

．设

PDADa

，．BaC(,(,0,0),P(0,0,3a又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，因此点F是中．因此E(aa3aaa3aF()．此AF)，EF,,0)．2222

3aa,)22

，

f(xf(xf(xf(x设平面

AFE

的法向量为nxy)

，则有

nn

因此3.3令

x

，则平面

AFE

的一个法向量为(3,3)

．因为BG面

，因此GB(0,3a

是平面

PAF

的一个法向量．因为

cos<n,GB>

nn

a13a

，因此平面

PAF

与平面

AFE

所成的锐二面角的余弦值为

．…分．（本小题满分14分解：函数()定域

x

，

1．x（Ⅰ）因为f(x)区间[1,2]上增函数，因此

f

在上成立，即f

11，a在x[1,2]上成立，x则

1a2

……………………分（Ⅱ）当，f(xln,f

x

．（ⅰ）令

f

，得x

1

．令f令f

1,得(0,)，此函数在)单递增．e1,得(,因此函数在(调递减．111因此，(f()lnee因此()成立．……………（ⅱ）由（ⅰ）知，f(x)

，因

f()

．设g(x)

lnx3x(0,因此x

g

1xx2

．令

g

0

，得x．令g得，此函数

g(x

在(0,e)单递增，令g

得x(e,因此函数

g(x

在(e,调递减；

因此，g()

g(e)

313，即2e2

gx2

．因此

f()g(x

，即

f(x)

ln3．x因此，方程

f(x)

ln3没有实数解．…………分x．（本小题满分14分解）由题意可知

，

b

2

4，因此2233

．因此

．因此椭圆C的离心率为．……3分a（Ⅱ）若切线

l

的斜率不存在，则

lx

．在

23244

中令

x

得

y

．不妨设

，．此OAOB．同理，当

lx

时，也有

OA

．若切线

l

的斜率存在，设

l:kx

，依题意

mk

，即

k

2

m

2

．由

ykxx4

，得

k2kmxm20

．明显

．设

x,y1

，

(,y)2

,则

x12

6kmk

，

12

2k2

．因此

y)(kx)x()2212

.因此

OAxk2x)2122

k

k22

2

(k

2

m

2

kk

2

2

2

4mkk

4(

2

k3k

2

．

kmax21223kmax21223因此OAOB．综上所述，总有

OA

成立．…………9分（Ⅲ）因为直线与相，则圆半即为

的高，当

l

的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知AB则S

当l的斜率存在时由（Ⅱ）可知，AB(1

)[(x)2

x]2

2

3)233k221kk2

m

22212122m12kk2kk229k3k

．因此

4(12)(9k2(322

k9k

k

k

4kk

)

kk4k2

3k

（当且仅当时，等号成立此

AB

4323．现在)33

.综上所述，当且仅当

3时，面积最大值为．…1433．（本小题满分13分解：（Ⅰ）因为

k1

，由①知

3

；由②知，

12aa21

，整理得，

2

2

1．得，a或a．2当

a2

时，不满足

a2

21aa23

，舍去；因此，那个数列为

12,2

．…………

nn41323113434124111341222112122m2mnn41323113434124111341222112122m2m（Ⅱ）若

k4

，由①知

a4

．因为

21aann

(n1,2,3)，此()(1nn

1aann

)

．因此

a

n

12

a或nn

1an

(1,2,3)

．假如由运算a没有用到或者恰用了2次14

an

1an

，明显不满足条件；因此由

1

运算

4

只能恰好1次者次用到

an

1an

，共有下面情形：（1）若

a2

11