2021年3月 北京市朝阳区高三一模数学

京市阳高年级二期量检一数学（考试时间120钟满分150）本试卷分为选择（共40分和非选择题共110分）两分

2021.0考生务必将答案在答题卡，在试卷上作答无效。考试束后，将试卷和题卡一并回。第部（选择题

共40分一、择题共10小，每小分，共40分在每小列出的个选项中选出符题目要求一项。（）知合（）

，（）

，则（）（）（）果数

（）实部与虚部相等，那么（）

（）

（）

（）（）知差数列

的前项和为

，，

，则（）

（）

（）

（）截直线（）知（）（）

所得弦的长度为（）

，则实数

（）（）知曲线（，）离心率为2，则双曲线的近线方程（）

（）

（）（）（）

中，若

，则（）（）（）（）高三数学试卷第1页（共16页）

（）三锥的三视如图所，已知网纸上小正形的边长为，则该三棱锥最长的长为（）（）（）（）（）

中”“

为钝角三角形”（）充分而必要条件（）分必要条件

（）要而不充条件（）既不充分也不必要条件（）知物线，则

的焦点为，线，是直线上动点．若点在抛物上且（为坐标原点的最小值（）（在棱长为的方

（）（）中，是线段

上的点，过

（）的平面与线

垂直．当在线段

上运动时，平面截方

所得的截面面积最小值是（）（）（）（）高三数学试卷第2页（共16页）

第部二、空题共5小题，每题分共25分。

（非选择题

共分）（）

的展开式中，

的系数________数字作）（已知函数（已知向量

，

则（

；，

的值域_．，则向量的标可以是________．（写出一个即可（李明自主业，经营家网店每售出一A商获利8．现计划“”间对A商品进广告促销，假设售A商的件数（单位：万件）与广费用（单位：元）符合数模型．若要使这次促活动获利多，则广告费用应投入万元．（华人数学李天岩和国数学约克给出混沌”的学定义，由发展的沌理论在物学、济学和社会学领都有重要用．在沌理论中函数的期点是一关键概念定义如下：设是定义在

上的函数，对于

，令

（若存正整数

使得，且当

时，，称

是

的一个周期为的周期点．给出下列四个结论①若②若

，则，则

存在唯一一个周为1的期点；存在周期为2周期点；③若

则

不存在周期为的周期点④若，对任意正数，都不是其中所有正确结的序号________．

的周期为的期点．高三数学试卷第3页（共16页）

三、答题共6小题，共85分解答应出文字明，演算骤或证过程。（小13分）已知函数（，，）由下四个条件的三个来定：①最正周期为；②最值为；③

；④

．（Ⅰ）写出能确

的三个条件，并

的解析式；（Ⅱ）求

的单调递增区间（小13分）如图，在四棱锥

中，是

边的中点，

底面，．底面

中，，

，

，

．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角

平面；的余弦值．高三数学试卷第4页（共16页）

（小14分）我国脱贫攻坚战得全面胜，现行标准下农村贫困人口部脱贫，除了绝贫困．为解脱贫家庭人均年纯收入况，某扶工作组对A，两个区2019年贫庭进行简随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，得数据如表：2019年均年纯收超过10000元2019年均年纯收未超过10000元

A地区100户200户

B地150户50户假设所有脱贫家的人均年收入是否超过10000元互立．（）从A地区2019年贫家庭中随机抽取1户，估计家庭2019年均年纯入超过元概率；（）在样本，分别从A地区和B地区2019年贫家庭中各机抽取1户，记

为这户庭2019年人均年纯收入过元的户数求

的分布列和数学望；（Ⅲ）从样本中A地区的户贫庭中随机取户，现这户家庭2020年均年纯收入都超过10000元根这个结果能否认为样本中A区2020年均纯收入超过元户相比2019年变化？请说明理由（小15分）已知椭圆的轴的两个端分别为（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标

，，心率为．（Ⅱ）若点

为椭圆

上异于

的任意一点，过点且与直

平行的直线与直

交于点，直线

与直线

交于点

，试判断以线段

为直径的圆是否定点？若定点，求出定点的高三数学试卷第5页（共16页）

坐标；若不过定，请说明由．（小15分）已知函数

（（Ⅰ）求（）若直线

的单调区间；与曲线

相切，求证：．（小15分）数

（

存公为的等比数列

，使得，其中

，则称数列

为数列

的“等比分割数（）写出数列（Ⅱ）若数

的一个“等比分数列”的通项公式为

；，其“等比分割列”

的首项为，数列

的公比的值范围；高三数学试卷第6页（共16页）

（Ⅲ

存在“等比分割列

．高三数学试卷第7页（共16页）

京市阳高年级二期量检一数考案一、择题（10题，每题4分共40分

2021．3（）B（）D

（）A（）

（）A（）

（）D（）B

（）A（10二、空题（5题，每题，共25分）（11）（）；（13）（答案不唯一）（）（）①④三、答题（6题，共分（分解确定

的三个条件①②，③当若函数与

且

时，满足条④，则矛盾，所以

．，不能满足条件．所以能确定

的三个条件①，②，③由条件①，得由条件②，得由条件③，得所以

，又，又．

，所以，所以

．．，又，以．经验证，（）函数

符合题意．..............................................................................7分的单调递增区间（高三数学试卷第8页（共16页）

由（得（所以（分解）四边形

的单调递增区间（分中，因为

，

是

的中点，则，．所以四边形

是平行四边形．所以又因为

．平面

，

平面，所以（Ⅱ）连结

平面．

．.............................................................................................................5分因为所以

平面，．又因为点

是

的中点，且，所以

．因为所以四边形

，是正方形．所以

．如图，建立空间角坐标系

，则所以

,．

．设则令，则

是平面即

的一个法向量，．高三数学试卷第9页（共16页）

因为所以所以

平面，是平面

的一个法向量．．由图可知，二面所以二面角

为锐角，的余弦值为．.............................................................................13分高三数学试卷第10页16页）

（分解设事件：从A地年脱贫庭中随机抽取1户该家庭2019年均年纯收超过10000元从表格数据可知A地抽出的300户庭中年人均收入超过10000元有户，因此

可以估计为．.............................................................................................3分（）设事件：从样中A地2019年脱贫家庭随机抽取户，该家2019年均年纯收入超过元，则

．设事件

：从样本中B地年脱贫家中随机抽1户该家庭年均年纯收入超过元，则

．由题可知

的可能取值为0，1，．；；．所以

的分布列为所以（Ⅲ设事件

的数学期望．..........................................................10分为“从样本中A地的户贫庭中随抽取4户这4户庭年人均年纯收入都超过元假设样本中A区2020年均年纯收入超过10000元户相比2019年有变化，高三数学试卷第11页16页）

则由年样本数据得答案示例：以认为有变化．理由下：

．比较小，概率比小的事件般不容易发生．一旦发生，有理由认样本中A地2020年均年纯收超过10000的户数相2019年生了变化．所以可以认为有化．答案示例：法确定有没有变化．由如下：事件

是随机事件，

比较小，一般不易发生，还是有能发生的所以无法确定有有变化．....................................................................................................14分（分解）题意可设椭圆

的方程为，则解得，．所以椭圆的程为（）方法1：

，焦点坐标为

和．.................................5分设点

的坐标为（．过原点且与直线

平行的直线方程．令，得．直线

的方程为，令，得．高三数学试卷第12页16页）

假设以线段则

为直径的圆过定，由椭圆对称性可设定点为．

．因为，所以．因为

，所以

．则

或

．所以以线段方法2：

为直径的圆过定，且定点标为

和．…………15分设点

的坐标为（．过原点且与直线

平行的直线方程．令，得．直线令所以以

的方程为，，得．为直径的圆的半为．圆心的横坐标为

．所以以线段

为直径的圆的方为．因为，所以

．高三数学试卷第13页16页）

以线段方程所以解得

为直径的圆过定等价于对意的点，恒成立．或所以以线段（分

为直径的圆过定，且定点标为

和．…………15分解）

．令

，得

．当

时，

，

在

上单调递减；当

时，

和

在

上的变化情况如：极小值当

时，

和

在

上的变化情况如：极大值综上，当当

时，时，

在上单调递减，的单调递减区间

，单调递增区间

，当

时，

的单调递增区间

，单调递减区间

．………………高三数学试卷第14页页）

（Ⅱ）由题得

．设直线则由①-②得

与曲线，即

相切于点，．若直线所以

，则与曲线．

，

，不相切，不符合意，所以．令

，则

，所以

单调递增．因为，，所以存在唯一

使得

．将③代入①得

．所以．易知在所以

内在

单调递减，且，内单调递增．因为（分解）

，所以，所以．................................................分案唯）（）

．高三数学试卷第15页16页）

所以

单调递减．（）的最小值为

．

．