高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程曲线与方程 课时提升作业十

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业十求曲线的方程一、选择题(每小题4分，共12分)1.已知动点P到点(1，-2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】选B.设P(x，y)，由题设得(x-1所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知A(-2，0)，B(2，0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是()A.一个点 B.两个点C.一条直线 D.两条直线【解析】选D.设顶点C到边AB的距离为d，则12【误区警示】本题易忽略直线y=-5而错选C.3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC→=αOA→+βOB→，其中α+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5=0 +2y-5=0【解题指南】利用向量的坐标运算，建立方程组，把α，β用动点坐标(x，y)表示后代入α+β=1，整理即可得出点C的轨迹方程或根据OC→=αOA→+β【解析】选D.设C(x，y)，因为OC→=αOA所以(x，y)=α(3，1)+β(-1，3)，所以(x，y)=(3α-β，α+3β)，得x=3α-β,y=α+3β,因为α+β=1，所以3x+y10+整理得x+2y-5=0.【一题多解】选D.由OC→=αOA得OC所以x=4α-1,【补偿训练】设动点P是曲线y=2x2+1上任意一点，点A(0，-1)，点M使得PM→=2M=6x2-13 =3x2+=-3x2-1 =6y2-1【解析】选A.设M为(x，y)，因为PM→=2因为P为y=2x2+1上一点，所以3y+2=2×9x2+1，所以y=6x2-13二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2023·温州高二检测)已知点M到定点F(1，0)的距离和它到定直线l：x=4的距离的比是常数12，设点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程是【解析】设点M(x，y)，则据题意有(x-1)2则4[(x-1)2+y2]=(x-4)2，即3x2+4y2=12，所以x24+故曲线C的方程为x24+答案：x24+5.直线x-3y=0和直线3x-y=0的夹角的平分线所在直线方程为.【解题指南】利用角平分线的性质建立等量关系.【解析】设P(x，y)为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P到直线x-3y=0和3x-y=0的距离相等，所以|x-3y|12所以|x-3y|=|3x-y|，所以x-3y=±(3x-y)，所以x-3y=3x-y或x-3y=-(3x-y)，所以x+y=0或x-y=0.所以所求直线方程为x+y=0或x-y=0.答案：x+y=0或x-y=0三、解答题6.(10分)(2023·唐山高二检测)设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且MP0→=【解析】设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0，0).由MP0→=(x0-x，-y)，P且MP0→=32PP0所以x0-x=0,又x02+所以x2+43y2所以，点M的轨迹C的方程为x24+【补偿训练】如图，已知点P(-3，0)，点Q在x轴上，点A在y轴上，且PA→·AQ→=0，QM【解析】设动点M(x，y)，A(0，b)，Q(a，0)，因为P(-3，0)，所以PA→=(3，b)，AQ因为PA→·所以(3，b)·(a，-b)=0，即3a-b2=0.①因为QM→=2所以(x-a，y)=2(a，-b)，即x=3a，y=-2b.②由①②得y2=4x.所以动点M的轨迹方程为y2=4x.一、选择题(每小题5分，共10分)1.等腰三角形底边的两个顶点是B(2，1)，C(0，-3)，则另一顶点A的轨迹方程是()+1=0(x≠0) =2x+1+2y+1=0(y≠1) +2y+1=0(x≠1)【解析】选D.由题意可知另一顶点A在边BC的垂直平分线上.BC的中点为(1，-1)，边BC所在直线斜率kBC=1-(-3)2-0=2，所以边BC的垂直平分线的斜率k=-12，垂直平分线方程为y+1=-2.(2023·银川高二检测)正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，A.线段B1B.线段BC1中点与CC1中点连成的线段中点与B1C1【解析】选A.由AC⊥BD，AC⊥DD1知AC⊥平面BDD1，所以AC⊥BD1.由AB1⊥A1B，AB1⊥A1D1知，AB1⊥平面A1BD1，所以AB1⊥BD1.又AP⊥BD1，所以BD1⊥平面APC，BD1⊥平面APB1，所以平面APC与平面APB1重合，所以P点在线段B1C故P点的轨迹为线段B1C二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2023·沈阳高二检测)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13，则动点P的轨迹方程为【解析】设P(x，y)，由于点B与点A(-1，1)关于原点O对称，所以B(1，-1).kPA=y-1x+1(x≠-1)，kPB=因为kPA·kPB=13，所以y-1x+1·y整理得x2-3y2=-2(x≠±1).答案：x2-3y2=-2(x≠±1)【易错警示】易忽视求出方程后要把不合适的点除去.4.(2023·南昌高二检测)如图，动点M和两定点A(-1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为.【解析】设M的坐标为(x，y)，显然有x>0，且y≠0，当∠MBA=90°时，点M的坐标为(2，±3)，当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，有tan∠MBA=2tan∠MAB将tan∠MBA=y2-x，tan∠MAB=y化简可得3x2-y2-3=0，而点(2，±3)在曲线3x2-y2-3=0上，综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>0).答案：3x2-y2-3=0(x>0)三、解答题5.(10分)(2023·济南高二检测)过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【解题指南】设出点的坐标，利用直线l1，l2互相垂直列出关系式即可求解，或利用直角三角形的性质求解.【解析】方法一：设点M的坐标为(x，y)，因为M为线段AB的中点，所以A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y).因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，所以PA⊥PB，即kPA·kPB=-1，而kPA=4-02-2x=kPB=4-2y2-0=所以21-x·2整理，得x+2y-5=0(x≠1).因为当x=1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，所以线段AB的中点M的坐标是(1，2)，它满足方程x+2y-5=0.综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.方法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接PM.因为l1⊥l2，所以2|PM|=|AB|.而|PM|=(x-2|AB|=(2x所以2(x-2)2【补偿训练】已知两点M(-1，0)，N(1，0)，点