高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程椭圆【全国一等奖】

椭圆同步检测一、选择题1.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为（）A..B.C.D.QUOTEsinα=±12答案：A解析：解答：设椭圆的标准方程为，所以由题意可得：，所以椭圆的方程为.分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是根据椭圆的简单性质进行计算即可.2.椭圆的长轴长为（）A．2D.9答案：C解析：解答：由题意可得：椭圆的标准方程为：，所以椭圆的长轴长为6.分析：本题主要考查了椭圆的标准方程，解决问题的关键是椭圆的标准方程计算即可.3.若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：设，因为是等边三角形，所以，即a=2b，∴，有，故选C分析：本题主要考查了椭圆的定义，解决问题的关键是根据椭圆的定义进行计算即可.4.椭圆上的一点到焦点的距离等于1，则点到另一个焦点的距离是（）A．1B．3C．D．答案：D解析：解答：根据椭圆的定义，，∴，故选D．分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是根据椭圆的简单性质进行计算即可.5.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A．B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）答案：D解析：解答：椭圆的标准方程为,由椭圆的性质可知即,答案选D.分析：本题主要考查了椭圆的定义，解决问题的关键是椭圆的定义进行分析即可.6.已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点.若,则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：，即，两边同除以，得（舍负），故选B．分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是根据椭圆的简单性质进行列示计算即可.7.已知椭圆的中心为，右焦点为、右顶点为，直线与轴的交点为，则的最大值为（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：由题可得分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是根据椭圆的简单性质进行计算即可.8.过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）．A.B.C.D.答案：B解析：解答：由题意得点P的坐标为，因为所以，即，所以解得（舍去），答案为B分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是椭圆的简单性质结合所给条件进行计算即可.9.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（）A.B.C.D.答案：A解析：解答：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：又∵∴①是的斜边中点，∴又②③②③代入①∴即∴,所以.分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是根据椭圆的简单性质结合所给条件计算即可.10.从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.答案：B解析：解答：设椭圆的标准方程为=1，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜），则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，即，9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），整理得5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴，即e∈，故选B.分析：本题主要考查了椭圆的应用，解决问题的关键是根据椭圆的有关性质分析计算即可.11.若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：由直线，可得代入得：设的坐标为，则有：，∴M的坐标为：，∴OM的斜率，故选B．分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据直线与圆锥曲线的关系结合韦达定理进行分析计算即可.12.椭圆上的点到直线2x－y＝7距离最近的点的坐标为（）A．（－，）B．（，－）C．（－，）D．（，－）答案：B解析：解答：设和椭圆相切且和直线平行的直线为，联立椭圆方程得，因为直线和椭圆相切，所以，由图可知，直线为，解得切点坐标为，此点就是所求点，故选B.分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据直线与圆锥曲线的关系进行分析计算即可.13.若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．1答案：B解析：解答：设点，所以，由此可得，，所以分析：本题主要考查了圆锥曲线的综合，解决问题的关键是根据点满足的关系结合平面向量坐标运算计算即可.14.已知椭圆的两个焦点为，，是此椭圆上的一点，且，，则该椭圆的方程是()A.B．C．D．答案：A解析：解答：设椭圆的方程为：，由题意可得：，又因为，，所以，即，所以，即，所以椭圆的方程为：．分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是根据所给条件结合椭圆的简单性质计算即可.15.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则（）A．4B．8C．12D．16答案：B解析：解答：如图，设的中点为，由题意可知，，分别为，的中位线，∴．分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解决问题的关键是根据直线与椭圆的关系计算即可.二、填空题16.过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．答案：解析：解答：设，分别代入椭圆的方程中，可得：①②，由①-②可得，，因为点是弦的中点，∴，∴=，又因为直线过点（1,1），所以直线的方程为，即.分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解决问题的关键是根据所给点A,B,结合点与椭圆关系列式计算即可.17.在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的一个动点，点在线段的延长线上，且，则点横坐标的最大值为.答案：15解析：解答：设，由，得，，研究点横坐标的最大值，仅考虑，（当且仅当时取“=”）．分析：本题主要考查了圆锥曲线的综合，解决问题的关键是根据所求点满足的关系结合平面向量坐标运算计算即可.18.若方程表示椭圆，则的取值范围是______________.答案：(1,2)∪(2,3)解析：解答：因为，方程表示椭圆，所以，，解得，的取值范围是(1,2)∪(2,3)分析：本题主要考查了椭圆的标准方程，解决问题的关键是根据椭圆标准方程的性质分析计算即可.19.椭圆的焦点为，点在椭圆上，且线段的中点恰好在轴上，，则.答案：7解析：解答：易知，原点也是的中点，所以平行于轴，因为，所以,设，根据椭圆定义可知，所以，解得，所以,故,所以7.分析：本题主要考查了椭圆的定义，解决问题的关键是根据椭圆定义列式计算即可.20.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则的最大值为__________.答案：15解析：解答：，此时点P为直线与椭圆的交点，故填15分析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决问题的关键是根据椭圆的简单性质分析计算即可.三、解答题21.已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6。(1)求椭圆C的标准方程。答案：解：由F1（－，0）和F2（，0），长轴长为6得：c=2，a=3，所以b=1。所以椭圆方程为。(2)设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标答案：解：设A()B(),由（1）可知椭圆方程为，与直线AB的方程y=x+2联立化简并整理得10x2+36x+27=0，∴x1+x2=，，。所以AB的中点的坐标为.解析：分析：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据椭圆性质结合直线与椭圆的关系列式计算即可.22.已知椭圆C：的上顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆方程；答案：解：依题意得：，椭圆方程为（2）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求的取值范围.答案：解：设，，则---（*）点满足，代入（*）式，得：根据二次函数的单调性可得：的取值范围为解析：分析：本题主要考查了椭圆的简单性质、圆锥曲线的综合，解决问题的关键是根据椭圆定义得到椭圆方程；根据所给点满足关系结合平面向量坐标运算性质计算即可.23.已知椭圆经过点其离心率为.（1）求椭圆的方程；答案：解：由已知，所以,①又点在椭圆上，所以，②由①②解之得,故椭圆的方程为（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求到直线距离的最小值.答案：解：当直线有斜率时，设时，则由消去得，，③设则，由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足③式，又点到直线的距离为：，并且仅当时等号成立；当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1，所以点到直线的距离最小值为.解析：分析：本题主要考查了椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合，解决问题的关键是（1）由离心率为，得①，又过点，得②，联立①②求；(2)直线和圆锥曲线的位置关系问题，普通会根据已知条件结合韦达定理列式确定参数的值或者取值范围，设直线：，联立椭圆方程，消去，得关于的二次方程，设，利用韦达定理将点的坐标表示出来，，因为在椭圆上，代入椭圆方程，得的等式①，点到直线的距离为，联立①得关于，或的函数，进而求其最小值，再考虑斜率不存在时的情况，求最小值，然后和斜率存在时候的最小值比较大小，得结论.24.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；答案：解：由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1，又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；答案：解：设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0)，由得由点P在椭圆上,得，∴线段PA中点M的轨迹方程是解析：分析：本题主要考查了椭圆的标准方程、圆锥曲线的轨迹问题，解决问题的关键是根据椭圆的几何性质计算即可得到其标准方程；根据动点转移法求得动点轨迹.25.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,右准线且．（1）求椭圆的标准方程；答案：解：由题意，，，，，由得.椭圆C的标准方程为.（2）动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与右准线相交于点，试探究在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点坐标；若