高中数学人教A版第三章不等式 单元质量评估(三)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(2023·德州高二检测)若a<1,b>1,那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.<b2 <a+b【解析】选D.取a=-3,b=2,显然A,B,C均错,D正确.2.不等式-x2+2x-3>0的解集为()A.{x|x>3或x<1} B.{x|x<3或x>1} D.∅【解析】选D.原不等式⇔x2-2x+3<0⇔(x-1)2+2<0⇔x∈∅.3.(2023·北京高考)若x,y满足x-y≤0, B.1 C.32 【解析】选D.作出可行域及l0:x+2y=0如图所示,把(1,0)代入l0,可知l0的右上方为正,所以向上平移l0,过点(0,1)时z=x+2y取最大值2.【补偿训练】(2023·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y+1≤0,2x-y+2≥0,【解析】画出可行域如图所示,目标函数y=-3x+z,当z取到最大值时,y=-3x+z的纵截距最大,即将直线移到点C时,由x-2y+1=0,x+y-2=0,解得C(1,1),所以z答案:44.已知a>0,b>0且3a+2b=2,则ab的最大值为()A.112 B.C.16 【解析】选=16×3a×2b≤16×3a+2b22=16,当且仅当3a=2b时,即a=5.(2023·哈尔滨高二检测)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()<v<ab =C.ab<v<a+b2 【解析】选A.设甲、乙两地之间的距离为s.因为a<b,所以v=2ssa+sb=2sab又v-a=2aba+b-a=ab-6.不等式ax2+5x+c>0的解集为x|=6,c=1 =-6,c=-1=1,c=6 =-1,c=-6【解析】选B.因为不等式ax2+5x+c>0的解集为x|13<x<12,所以方程ax所以a127.(2023·天水高二检测)若x,y满足y-1≥0, B.2 【解析】选C.不等式组对应的可行域为直线y=1,2x-y-1=0,x+y=m围成的三角形及内部,当z=x-y过直线2x-y-1=0,x+y=m的交点m+13,2m-13时取得最小值8.(2023·杭州高二检测)如果不等式2xA.(1,3) B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)【解析】选A.因为4x2+6x+3=2x+32所以原不等式⇔2x2+2mx+m<4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+(3-m)>0,x∈R恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)<0,所以1<m<3.9.设不等式组x+y-11≥0,3x-y+3≥0,5x-3y+9≤0表示的平面区域为D,若指数函数y=aA.(1,3] B.[2,3]C.(1,2] D.[3,+∞)【解析】选A.作出区域D的图象,联系指数函数y=ax的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,故a的取值范围为(1,3].10.当x>1时,不等式x+1x-1A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[3,+∞) D.(-∞,3]【解析】选D.因为x>1,所以x-1>0,则x+1x-1=x-1+111.(2023·恩施高二检测)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若0<c<1,则a的取值范围是()A.(1,3) B.(1,2)C.[2,3) D.[1,3]【解题指南】由函数图象经过两点,将两点的坐标代入,可得a,b,c的关系,又因为0<c<1,由此确定a的取值范围.【解析】选a-b+c=3,a+b+c=1,12.(2023·铁岭高二检测)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱【解析】选B.设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱.则x+y≤70,10x+6y≤480,x,y∈N,目标函数z=280x+200y,结合图象可得:当x=15,y=55时z最大,二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:(1)若ab>0,bc-ad>0,则ca-d(2)若ab>0,ca-d(3)若bc-ad>0,ca-d其中正确命题是________.【解析】因为ab>0,bc-ad>0,所以ca-db=同理(2)(3)亦正确.答案:(1)(2)(3)14.(2023·长春高二检测)如果关于x的不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,那么k的取值范围是________【解析】当k=0时满足条件;当k≠0时满足k解得-3<k<0.综上所述,k的取值范围是-3<k≤0.答案:-3<k≤015.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________【解题指南】建立关系式利用基本不等式求解,可以考虑设两变量,也可以考虑设一变量.【解析】由容器体积为4,高为1可知,容器的底面积为4.设底面长为x,则宽为4x由题意,W=2·x·1+2·=20x+4x当且仅当x=4x答案:160元16.(2023·山东高考)定义运算“⊗”:x⊗y=x2-y【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.【解析】x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x=x2-y2xy+4y2-x22yx答案:2三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a,b为正实数,试比较ab+ba与a+【解析】ab+ba-(a+b)=ab-b+ba-a因为a,b为正实数,所以a+b>0,ab>0,(a-b)2于是有(a所以ab+ba≥a+18.(12分)(2023·福州高二检测)已知不等式mx2+nx-1m<0的解集为x(1)求m,n的值.(2)解关于x的不等式:(2a-1-x)(x+m)>0,其中a是实数.【解析】(1)依题意,m得m=-1,n=32(2)原不等式为(2a-1-x)(x-1)>0即[x-(2a-1)](x-1)<0.①当2a-1<1即a<1时,原不等式的解集为{x|2a-1<x<1};②当2a-1=1即a=1时,原不等式的解集为⌀;③当2a-1>1即a>1时,原不等式的解集为{x|1<x<2a-1}.19.(12分)(2023·西安高二检测)某糖果厂生产A,B两种糖果,A种糖果每箱可获利润40元,B种糖果每箱可获利润50元.其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位:min).混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中,混合的设备最多只能用机器12h,烹调的设备最多只能用机器30h,包装的设备最多只能用机器15h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润?【解析】设生产A种糖果x箱,生产B种糖果y箱,可获利润z元,即求z=40x+50y在约束条件x+2y≤720,5x+4y≤1800,作直线l0:40x+50y=0,平移l0经过点P时,z=40x+50y取最大值,解方程组x+2y=720,所以zmax=40×120+50×300=19800.所以生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱时,可以获得最大利润19800元.20.(12分)(2023·聊城高二检测)已知函数f(x)=x+9x-3(1)求函数f(x)的最小值.(2)若不等式f(x)≥tt+1【解析】(1)因为x>3,所以x-3>0.所以f(x)=x+9x-3=x-3+9≥2(x-3)·当且仅当x-3=9x-3即(x-3)2=9时,上式取得等号,又因为x>3,所以x=6,所以当x=6时,函数f(x)的最小值是9.(2)由(1)知,当x>3时,f(x)的最小值是9,要使不等式f(x)≥tt+1只需9≥tt+1所以tt+1-2≤0即-解得t≤-2或t>-1.所以实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,+∞).【补偿训练】设函数f(x)=mx2-mx-6+m,(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围.(2)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.【解题指南】在(1)中,已知m的取值范围,要求x的取值范围,需要把f(x)转化为关于m的函数,即以m为主元,把x视为参数.在(2)中,则恰好相反.【解析】(1)设f(x)=m(x2-x+1)-6=g(m),则g(m)是关于m的一次函数,且一次项系数为x2-x+1.因为x2-x+1=x-12所以g(m)在[-2,2]上单调递增,所以g(m)<0在[-2,2]上恒成立等价于g(2)=2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2.所以x的取值范围是-1<x<2.(2)因为f(x)=mx-12所以m>0,f(3)=7m-6<0或m解得0<m<67故实数m的取值范围是m<6721.(12分)(2023·石家庄高一检测)已知函数f(x)=x2-a+(1)当a=12(2)比较a与1a(3)解关于x的不等式f(x)≤0.【解题指南】(1)当a=12(2)比较大小,可以作差,然后通分,分解因式,然后讨论a的范围,比较两数的大小.(3)第一步,先分解因式,第二步,根据上一问的结果得到a与1a【解析】(1)当a=12有不等式f(x)=x2-52所以x-所以不等式的解集为:x1(2)因为a-1a=(所以当0<a<1时,有1a当a>1时,有1a当a=1时,有a=1a(3)因为不等式f(x)=x-当0<a<1时,有1a所以不等式的解集为xa≤x≤当a>1时,有1a所以不等式的解集为x1当a=1时,不等式的解集为{1}.22.(12分)(2023·广州高二检测)电视台为某广告公司特约播放两部片集,其中片集甲每片播放时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙每片播放时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万,广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间).(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集,才能使收视观众最多.(2)在获得最多收视观众的情况下,片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b(万元)的效益,若