高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程单元测试 公开课

专题一四种命题的关系及真假判断把命题“若p，则q”作为原命题，对它的条件p和结论q作“换位”和“否定”描述，分别得到逆命题，否命题与逆否命题，统称为四种命题：(1)p、q“换位”：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题：“若q，则p”；(2)p、q“否定”：同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题：“若¬p，则¬q”；例1设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A.若a≠－b，则|a|≠|b| B.若a＝－b，则|a|≠|b|C.若|a|≠|b|，则a≠－b D.若|a|＝|b|，则a＝－b解析选D.∵逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，∴这个命题的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝－b.（巩固训练）命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是()A.若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1 B.若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4) D.若tanα≠1，则α＝eq\f(π,4)解析命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)”，故选C.例2命题“若△ABC有一内角为eq\f(π,3)，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为eq\f(π,3)”，它是真命题．故选D.（巩固训练）给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1 D．0解析：原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.专题二充分条件与必要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若p⇒q，且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件；若peq\o(⇔,/)q，则p是q的既不充分也不必要条件，同时q是p的既不充分也不必要条件．例3设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析当1<x<2时，2<2x<4，∴p⇒q；但由2x>1，得x>0，∴qeq\o(⇒,/)p，故选A.答案A（巩固训练）已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－eq\f(1,2)B．x＝－1C．x＝5 D．x＝0解析：因为a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，所以a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b⇔a·b＝0，所以2x＝0，所以x＝0.答案：D专题三简单的逻辑联结词“且”“或”“非”复合命题的真假，要根据真值表准确判断。p∧q只有在p、q均为真命题时才是真命题，而p∨q在p，q均为假命题时才是假命题．解此类题目，要先判断p，q的真假．例4如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q只有一个是真命题D．命题p、q至少有一个是真命题解析：选∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题；p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，同时满足，则p，q中一真一假，∴p、q只有一个是真命题，故选C.（巩固训练）若命题¬(p∨q)为假命题，则()A．p、q中至少有一个为真命题B．p、q中至多有一个为真命题C．p、q均为真命题D．p、q均为假命题解析：易知p∨q为真，所以p、q中至少有一个为真命题选A.专题四全称命题与特称命题判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写来找到．要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题；要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．例5指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|.(4)∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵ax>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1>0.∴命题(4)是假命题．（巩固训练）若命题p：x∈A∪B，则非p是()A．x∉A或x∉BB．x∉A且x∉BC．x∈A∩B D．x∉A或x∈B解析：因x∈A∪B⇔x∈A或x∈B，所以非p为x∉A且x∉B.故选B.例6已知命题p：∃x0∈R，tanx0＝eq\r(3)；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x0＝eq\f(π,3)时，tanx0＝eq\r(3)，∴命题p为真命题；x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴命题q为真命题