高中数学北师大版第一章三角函数7正切函数 2023版第1章7正切函数学业分层测评

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若cotα＝m，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝()A．mB．－mC．eq\f(1,m)D．－eq\f(1,m)【解析】taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cotα＝m.【答案】A2．函数y＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的定义域是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))))【解析】由2x－eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z，所以定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)))，k∈Z)).【答案】B3．下列不等式正确的是()A．taneq\f(4π,7)>taneq\f(3π,7)B．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))C．eq\f(1,tan4)<eq\f(1,tan3)\f(1,tan281°)<eq\f(1,tan665°)【解析】因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,5)))，而－eq\f(π,2)<－eq\f(2π,5)<－eq\f(π,4)<eq\f(π,2)，y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增加的，故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,5)))，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))).【答案】B4．函数y＝tan(sinx)的值域是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－tan1，tan1] D．[－1,1]【解析】sinx∈[－1,1]，又－eq\f(π,2)<－1<1<eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增加的，所以ymin＝tan(－1)＝－tan1，ymax＝tan1.【答案】C5．直线y＝a(常数)与正切曲线y＝tanωx(ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为()A．π B．2πC．eq\f(π,|ω|) D．与a值有关【解析】两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为eq\f(π,|ω|).【答案】C二、填空题6．函数y＝eq\r(\r(3)－tanx)的定义域为，值域为.【导学号：66470024】【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)－tanx≥0，,x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，))得定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ<x≤\f(π,3)＋kπ，k∈Z))))，值域为{y|y≥0}．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ<x≤\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))){y|y≥0}7．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，则φ等于．【解析】由已知，可得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋φ))＝0，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝0，∴φ＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)．【答案】－eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)8．化简：eq\f(tanα＋πtanα＋3π,tanα－πtan－α－π)＝.【解析】原式＝eq\f(tanα·tanα,tanα·－tanα)＝－1.【答案】－1三、解答题9．已知角α的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).(1)求sinα的值；(2)求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),sinα＋π)·eq\f(tanα－π,cos3π－α)的值．【解】(1)∵|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝1，∴sinα＝eq\f(y,|OP|)＝eq\f(－\f(3,5),1)＝－eq\f(3,5).(2)原式＝eq\f(cosα,－sinα)·eq\f(tanα,－cosα)＝eq\f(tanα,sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα),sinα)＝eq\f(1,cosα).由余弦函数的定义，得cosα＝eq\f(4,5)，故所求式子的值为eq\f(5,4).10．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq\r(3)]，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).【导学号：69992023】(1)当θ＝－eq\f(π,6)时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，eq\r(3)]上是单调函数．【解】(1)当θ＝－eq\f(π,6)时，f(x)＝x2－eq\f(2\r(3),3)x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)－eq\f(4,3)，x∈[－1，eq\r(3)]．∴当x＝eq\f(\r(3),3)时，f(x)的最小值为－eq\f(4,3)；当x＝－1时，f(x)的最大值为eq\f(2\r(3),3).(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ的图像的对称轴为x＝－tanθ.∴y＝f(x)在区间[－1，eq\r(3)]上是单调函数，∴－tanθ≤－1或－tanθ≥eq\r(3).即tanθ≥1或tanθ≤－eq\r(3).又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴θ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).[能力提升]1．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【解析】b＝cos55°＝sin35°，又a＝sin33°，0°<33°<35°<90°，且y＝sinx在[0,90°]是增加的，所以sin33°<sin35°，即b>a．tan35°＝eq\f(sin35°,cos35°)，又cos35°∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，所以tan35°>sin35°，故c>b>A．【答案】C2．已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－α)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))的值为()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)【解析】由于taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))))＝eq\f(－cosα,－sinα)＝eq\f(cosα,sinα)，所以f(α)＝eq\f(sinα·cosα·\f(cosα,sinα),－cosα)＝－cosα，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10π－\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).【答案】B3．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(4π,3)))＝－5，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝.【导学号：66470025】【解析】taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(4π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)－α))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝5.【答案】54．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为eq\f(π,2)，且图像关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，0))对称，求f(x)的解析式．【解】由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(π,2)，即eq\f(π,ω)＝eq