2021届福建省福州市高三第二学期毕业班3月质量检测(一模)数学试题

2021届福建省福市高三第二期毕业班3月质量检测（一模）数学试题【含案】注意事项：答前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓考生要认真核对题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一.第I卷小题选出答案后，用铅把答题卡上对应题目的答案标号涂如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.II卷0.5毫黑色签字笔在答题卡上书写作在试题卷上作答答案无.考结，考生必须将试题卷和答题卡一并交.第I卷一、单项选择题：本题共8小，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.已集

A

，

xkkA}，AB

{1,3}

{2,4}

C.

{3,5}

{1,3,5}设数

bi(aZ,b)

，则满足

|1

的复数z有个

C.4个

个“

”是“

m2m

”的充而不必要条件C.充分必要条件

B.要而不充分条件既充分也不必要条件若物

上一点

t,2)

到其焦点的距离等于，

11m42

C.

m

m已函

f(x)ln

，则函数

1yf(1

)

的图象大致为ABD

0n0+1nnnnLL,3120n0+1nnnnLL,312在

中为AB边的中点D为AC边的点BDCE交点F.若

3AC7的值为B.C.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学如图，有一列曲线P，P，，P，.已知P是长为1的等边三角形，P是进如下操作而到：将P的条边三等分，以每边中间部分，下列结论正确的是的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉面积为.对于N

(k0,1,2,

)

.记的周长为L、所围成的P

0

P

1

P

2

…

P

…

为等差数列

为等比数列C.

，使

，使

已函数

()

2

)

的图象过点，区间

上为单调函数，把f()

的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合

5,,6

且

x

，若f

C.1

二、多项选择题：本题共4小，每小题5分共20分在每小题给出的四个选项中，有多项合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得3分有选错的得分“粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿人一年的口为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况某型餐厅中随机调查了90位店就餐的客人成如右所示的列联表，通过计算得到K认可

的观测值为不认可岁以下

1岁以（40岁101已

6.635，10.828

，则下列判断正确的是在餐厅用餐的客人中大约有66.7%客人认可“光盘行动”在餐厅用餐的客人中大约有的客人认可光盘行动”C.有99%把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关在犯误的概率不超过0.001的提下，认为光盘行动”的认可情况与年龄有关10.如，在下列四个正体中A，B为正方体的两个顶点NP为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线∥

平面MNP的是ABD11.已知是双曲线

E:

2y45

在第一象限上一点F分是E的、右焦点

eq\o\ac(△,，)PFF2

的面积为152

则以下结论正确的是点P的坐标为

52

3

PF12

2C.

△F1F1

的内切圆半径为1平分线所在的直线方程为

xy12.在数学中，双曲函数是一与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数x

eex和双曲余弦函数x22

等.双函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达芬苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻则下列结论正确的是

2x

为偶函数，且存在最小值C.

，

x

x

R且xx2

，

sinhx1212第II卷注意事项：用0.5毫黑签字笔在答题卡上书写作.试题卷上作答，答案无.三、填空题：本大题共4小，每小题分，共分把答案填在题中的横线.13.设x，满约束条件

xxy

则

的取值范围为

y0,14.

xx

1的展开式中，的数为x

15.在棱锥P侧PAC底面垂直，30，.则三棱锥

的外接球的表面积为

16.已圆的程为

(x

2

，点M(2,0)的线与圆C交两（点Q在四象限）若

QPO

，则点的纵坐标为

四、解答题：本大题共6小，共70分解应写出文字说明、证过程或演算步.17.（小题满分10分在①

a

；②

a

，

n

；③

a

2n

ann

，

，

这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解.问题：已知单调数列

n和为S，满足

（1）求

式（2）求数列

项和

18.（小题满分12分在

ABC

中，内角A，，C所的边分别为，b，c，

acosBC

（1）求角大小；（2）设CD是

ABC

的角平分线，求证：

1CACBCD

.

1211119.（小题满分12分12111如图，在三棱台

ABCAC

中，

AAACCC1

，

，

AB

（1）求证：平面

ACCAA11

；（2）若BACAB，二面角

ABB

的正弦值20.（小题满分12分已知椭圆

:

x22a0)a2b2

的左顶分别为

(，(2,0)

顶分别为，B，边形

1

的周长为

4

（1）求E的程；（2）设P为上异于A，的动点，直线P与y轴于点，过作

A∥PA2

，交y轴点D试探究在x上是否存在一定点，使得

QC

，若存在，求出点坐；若不存在，说明理.21.（小满分分）从年1月1日起某商业银行推出四种存款品括协定存款七通知存款结性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期客户帐户余额须不少于万，多出的资金可随时支取天知存款年利率为1.8%期须超过7天取需要提前七天建立通知构性存款存期一，年利率为；额存单，年利率为，起点金额1000万.（注：月利率为年利率的十二分一）已知某公司现有2020年结余资金1050万.（1若公司有股东他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品个东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有个股东选择同一种产品的概率；（2）公司决定将万元作协定存款于2021年1月1日存入该银行账户，规定从份起，每月首日支取万元作为公司的日常开将余下500万中的万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余(500)

万元作结构性存款.①求2021年年该公司从协定存款中所得的利息；②假设该公司于2021年月1日七天通知存款全部取金万用于投资高新项目专业机构评

估，该笔投资到2021年将有的概率获得

x30000

0.02x2

万元的收益，有20%概率亏损x万元，有的概率保本.问为值时，该公司年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.22.（小题满分12分已知

f(x)

.（1）判断

f(x

的零点个数，并说明理由；（2）若

f(x)a)

，求实数的值范围.参考答案及分细则评分说明：本答出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。对算，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的答有较严重的错误，就不再给分。解右所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。只整分数。一、单项选择题：本题共题，每小题分共分4.AD6.C二、多项选择题：本题共题，每小题分共分AC10.ABD11.BCD12.BCD三、填空题：本大题共4小，每小题分，共分13.

[

14.515.π16.

12四、解答题：本大题共6小，共70分17.（小题满分10分

【命题意图】本小题主要考查等比数列、与S的系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力查归与转化思函数与方程思想查逻辑推理数学运算等核心素养现础性、综合性满分10分.【解答）①，即

a

（i）当n时S，a1

；当

2

时，

（ii（iii）两式相减得

a

，所以

列其中公比为，首项为所以

.选②，即

a

，

n所以当2时，n即，n

an所以

k

N*)

为等比数列，其中首项为

a

，公比为，所以

a

(2

.由

a

，

2

，得

，同理可得，

a

(N*)

.综上，

选③，即

a

，

a

.所以

列设其公比为，则

(1)

解得

2,

或2q3又因为

列所以

，故

aq所以

.

（2）由（）知，

，所以

T

n

2nn

，两式相减得

n

nT所以18.（小题满分12

.

分）【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合.分12分【解答】解法一）为C

，由正弦定理得sinAsinBCcosBsinBcosC

，因为

B)sin(

)sinA

，所以

sin(B)Bcos

，所以2sinBC

，因为

(0,

)

，所以B，以C

12又

(0,

)

，所以

C

3（2）因为CD是ABC

的角平分线，且

C

3

，所以

ACD

3

.在

ABC

中，

eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,)ACD

eq\o\ac(△,)BCD

，则由面积公式得121sinCDsin233

，即

CACA

.两边同时除以

CA

得

1CACBCD

.

sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin解法二）为BC

，由余弦定理得

a

a

a2ac2ab

，整理得

ac2b

，即

222

，所以

ab2cosC)

，所以

cosC

12

，又

(0,

)

，所以

C

3

.（2）因为CD是ABC

的角平分线，且

C

3

，所以

ACD

3

.在ABC

中，由正弦定理得CBsinsinA

，CBADDB即sinsinA

.同理在

△CAD

和

△CBD

中，得CD，sin3

，所以

CACD，即，sinBsinsinBsinsinA故

CACDCDCD，即1CACBCA

，

11故

1CACB

.19.（小题满分12分【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、学运算等核心素养，体现基础性、综合.分分【解答）题意，四边形

ACCA

为等腰梯形，过

，

分别引的线，垂足分别为D，AD

11ACACAA，6022

.在

△ACA

中，

AC

AC

AAcos

12

，所以

2AC

，故

C1

.因为

AB，A，，AA平A111

，所以

平ABBA11

，因为

平面CCA

，所以

平面AA平面ABB

平面（2

AC

ACAC平面CC1

AB平面AA

，结合（）可知AB，，D三直线两两垂以为点，分别以

ABACDA

的方向为x，y，

1222111212的正方向，建立空间直角坐标系，图所示，则各点坐标为1222111212A

，

B

，

C

，

1

133,

.由（）知，

n1

2AC33

3,为面ABBA

的法向1,2,0)

，

1,2

，设

n,z

为平面

BCCB

的法向量，则

,2C21

故

0,3y0,2

取

n

，所以

cosnn12

121

1设二面角

A的小，则1

154

.20.（小题满分12分【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12【解答】解法一）题意，

由椭圆的对称性可知，四边形

B121

为菱形，其周长为

4

.所以

b所以E的方程为

x2

y

.

00111000011100（2）设

y0

，则

2

20

0

，直线

A1

的方程为

yyx20

(2)

，故

2y0x20

由

A∥PA知D的程为y12

y0x20

(，故

20x0

假设存在

t

，使得

QC

，则yyQCx20

2

y2x200x20

.解得t

所以当Q的标为时，QC解法二（1）同解法（2点P与重时C点(0,1)而点D即

(0,

假设存在

t使得QC

，则

(，即t

，得

.以下证明当Q为

(

时，

QC设

Py0

，则

2

20

20

，直线A的方程为

yyx20

(

，故

20x20

由

A∥PA12

知的程为

y

y0x20

(，故

20x20

所以

QC

2yx20

2

y2x20x20

.说明：Q只求出

(2,0)

或

(

，不扣21.（小题满分12分【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新满分分.【解答恰有3个东同时选择同一款理财产品的事件为A由题意知股东共有5种择，而恰好有3个东同时选择同一款理财产品的可能情况为C所以

P(A

5

445

.（2）①年全年该公司从协定存款中所得的利息：500

12500.00144.692

（万元）.②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表投资收益

x30000

0.02x2

xP

0.6

0.2所以，高新项目投资所得收益的期望为：x3t)0.135x0.60.20.012x2所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：

2xxx2xxx()0.00002

0.012x

0.027x(500)0.018

612

x

0.012x

22.69(0500)

.'(x)

令

L'(x，x400，x由

L'(x

，得x400

；由

L'(x

，得

.由条件可知，当x时Lx)

取得最大值为：

L(400)

（万元所以当x400时该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的望取得最大值万.22.（小题满分12分【解答】解法一）题意，

f)x(

，则当