高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 名师获奖

第二章2一、选择题(每小题5分，共20分)1．以x轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：∵通径长为8，∴2p＝8.∵抛物线的对称轴为x轴，∴抛物线的方程为y2＝±8x.答案：C2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A．12 B．1C．2 D．4解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，所以3＋eq\f(p,2)＝4，p＝2，故选C.答案：C3．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，则点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．直线 D．抛物线解析：依题意，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)．又eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，∴(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.∴点P的轨迹是抛物线．答案：D4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知4<r，因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以r＝|FM|＝y0＋2>4，∴y0>2.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解．由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2eq\r(2)，∴A(2,2eq\r(2))，∴直线AF的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2).))由图知，点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))，∴|BF|＝eq\f(1,2)－(－1)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)6．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是____________．解析：当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴eq\f(1,4)＝eq\r(3)p，即p＝eq\f(\r(3),12).∴y2＝eq\f(\r(3),6)x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为y2＝－eq\f(\r(3),6)x.答案：y2＝±eq\f(\r(3),6)x三、解答题(每小题10分，共20分)7．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求P点横坐标及抛物线方程．解析：设P(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)＝10，,y2＝2px，,|y|＝6，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,p＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,p＝18.))∴P点横坐标为9或1，抛物线方程为y2＝4x或y2＝36x.8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．解析：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,0))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(p,2)))2)＝3.解得：p＝2，y0＝±2eq\r(2)，∴抛物线方程为y2＝4x.∴点M(2，±2eq\r(2))，根据两点距离公式有：|OM|＝eq\r(22＋±2\r(2)2)＝2eq\r(3).9．(10分)如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y2＝4x，))解得A(4,4)，B(1，－2)，知|AB|＝3eq\r(5)，设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为P点到直线AB的距离，则d＝eq\f(|2x0－y0－4|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)－y0－4))＝eq\f(1,2\r(5))|(y0－1)2－9|，∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0.∴d＝eq\f(1,2\r(5))[9－(y0－1)2]．从而当y0＝1时，dmax＝eq\f(9,2\r(