高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语单元测试 全国一等奖

专题一、与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若p则q”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系，尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理．例1设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析p中x的取值范围是[eq\f(1,2)，1]，q中x的取值范围是[a，a＋1]．又¬p是¬q的必要而不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故只要a≤eq\f(1,2)且a＋1≥1，等号不同时成立即可，解得0≤a≤eq\f(1,2).【点评】将充分条件不必要条件转化为集合之间的关系是解题关键．（巩固训练）已知p:a－4<x<a＋4;q:(x－2)(3－x)>0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．【答案】[-1，6]解析因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件.又因为q:2<x<3，所以a－4≤2,a＋4≤3，解得：－1≤a≤6．专题二、与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题．例2已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围.解析∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0＜c＜1.即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴¬p：c＞1.又∵f(x)＝x2－2cx＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数，∴c≤eq\f(1,2).即q：0＜c≤eq\f(1,2)，∵c＞0且c≠1，∴¬q：c＞eq\f(1,2)且c≠1.又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假.当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|c＞\f(1,2)，且c≠1))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|\f(1,2)＜c＜1)).②当p假，q真时，{c|c＞1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|0＜c≤\f(1,2)))＝∅.综上所述，实数c的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜c＜1)))).【点评】复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，故先分别将简单命题翻译，根据其真假关系，转化为集合间的运算．（巩固训练）设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，则使p∨q为真，p∧q为假的实数m【答案】(－∞，－2]∪[－1,3)解析对于方程x2＋2mx＋1＝0有两个不等正根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m2－4>0,－2m>0))，∴m<－1，方程x2＋2(m－2)x－3mΔ＝4(m－2)2－4(－3m∴－2<m<3，若p真q假，则m≤－2；若p假q真，则－1≤m<3.专题三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的．例3已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题．求实数a解析：因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋ax0＋1＜0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)【点评】已知命题为假命题，则其否定是真命题，故将该题转化为利用二次函数与二次不等式之间的关系问题处理．(巩固训练)已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．解析由已知得¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）≤0，,f（2）≤0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2a＋2－a≤0，,4＋4a＋2－a≤0，))解得a≤－3，因为¬p为假，所以a＞－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．专题四、与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“∃”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．例4已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥ex；命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋4x0＋a＝0.若命题p∧q是假命题，则实数a的取值范围是()A.(－∞，4] B.(－∞，1)∪(4，＋∞)C.(－∞，e)∪(4，＋∞) D.(1，＋∞)解析当p为真命题时，x∈[0，1]时，a≥ex恒成立，∵ex有最大值1，∴a≥e；当q为真命题时，x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.∴p∧q为真命题时，e≤a≤4.∴p∧q为假命题时，a<e或a>4.故选C【点评】若命题“p∧q”是真命题，则命题p，q都是真命题，首先将命题p，q对应的参数范围求出来，求交集的补集即可．（巩固训练）已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，