2021届北京市门头沟区高三一模数学试题详解版

2021年门头沟高三一模数学

2021．3一选题本题10个小,小4分,分。在每题出四选中只有项符题要的1.复数

i(1i)

的模（）（）（）2.集合Axx，B{||2}，

（）

12（）R

（）[

（）(0,2]

（）二式(x

)x

展开式中，的数（）

（）

（）

（）某棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（）2（）

（）2（）5.数列

{}，n1

n

数{b}nn

满足|则列

{b}n

的前

项和

n|（）（）33

（）

2

（）

n

6.京西某游乐园的摩天轮采用了内首创的横梁结构，风格更加简摩天轮直径8米最高点离地面米匀运行一圈的时间是18分由受到周边建筑物的影响乘客与地面的距离超过34米，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（）分钟（）分钟（）14分钟（）分7."ln(0"立的一个必要而不充分条件是1（（（

（）8.在平面直角坐标系xOy中角与均Ox为始边，它们的终边关于轴称．若cos

25

，则cos(（）

3（）

（）1

（）

1

，，9.已知抛物线C:2px的点为F，点A为物线上坐标为的点，过点A的直线交x轴正半轴于点，为正三角形，则（）

（）2

（）9

（）1810.在平面直角坐标系中，从点

(

向直线

kx

作垂线，垂足为

M

，则点Q(2,4)

与点

M

的距离MQ的小值是A.52

B.

2

C.

D.17二填题本题5小，小5分满25分）在中，

23

，AB，则的长为

.12.在边长为的方体

C111

中，点是正体表面及其内部的一动点，且

BM/平A，动点M的迹所形成区域的面积是

.13.已知双曲线的心在坐标原点，且经过点

(2,

，下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C该件的序号是；足该条件的双曲线的准方程是

.条件①双曲线

的离心率

；条件②双曲线C渐近线方程为x条件③双曲线C实轴长为.

；14.函数()

cos

3cos

32

0)

ππ在区间()上调，且2ππ.f()()，则的小值为6215.正ABC的边长为，心为，的直

l

与边AB分相交于点N，AM

，AN

，DC.给下列四个结论：①

1AB3②若

，

③

1

1

不是定值，与直线l的置有关2

4④△与的积之比的最小值为9其中所有正确结论的序号是

.三、解题本大共6题满分分解应写文说、算骤证）16.(本题满分12分第24届季奥运会将于2022年2月在北京和张家举办。为了普及冬奥知识京西某校组织全体学进行了冬奥知识答题比赛全众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们分数统计如下：分数段人数

[30,40)[40,50)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]12831我们规定60分下为不及格分以上至70分下为及格分以上至80分下为良好；分以上为优秀．（Ⅰ这20名生中随机抽取2名生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（Ⅰ上样本统计中的频率视为概，从全校学生中随机抽取2人，以X表这2人中优秀人数，求X

的分布列与期望17.（本小题满分15分如图棱P中ABCD为形底面ABCDABC

π，3且是上任一,AC

（Ⅰ）求证：平面EBD平面PAC；（ⅡE是PC的点ED与面EBC成角的正弦值．（小题满分13分已知各项均为正数的数列

{}其项为.数.nn

{}n

为等差数列，满足12,.再条件①、条件②这二个条件中选择一个作为己知，求解下列问题：（Ⅰ数

{}n

的通项公式和的n和S；n3

**（Ⅰ对意nN不等式kS恒成立，求k的值范围条件①2S

条件②a，2，a

注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分．19.（本小题满分15分曲线上一点()到点F距之和为2,点P,y)曲线C上点线l过且与直线x垂直直l与轴于一点.（Ⅰ）求曲线C的方程及点Q坐标（用点P(x,y)的标表示（Ⅱ）比较

与

QFQF

的大小，并证明你的结论20.（本小题满分15分已知函fx

1ax2

(aR)．（Ⅰ函()在(0,单递增，求的值范围；（Ⅰ函

f(

在区间存在极大值M，明：

a2

．4

21.（本小题满分15分对一个非空集合，果集合D足如下四个条件：①

D{(,)a,bA}

；②，(,a)D③bA，(,b)D且

(b,)

，则④,c，(,)D且()D，(ac)D则称集合D为A的个偏序关系。（Ⅰ设A判断集合D{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}是是集合A

的偏序关系请你写出一个含有4个素且是集合的偏序关系的集合D。（Ⅱ）证明：Ra,baR,bRa}是实数集R的一个偏序关系；（Ⅲ）设E为合的个偏序关系，,b。若存在A，使得(a)E，b，且若(d,)，(d,b)，一定有(,，则称是a和的，记为c证明：对A中的两个给元素,b若a存，则一定唯一。5

222224522222452021年门头沟高三一模数学

2021．3一选题本题10个小,小4分,分。在每题出四选中只有项符题要的1.复数

i(1i)

的模（）解：z

（），z1

（），A.2

（）

122.集合Axx，B{||

≤2}，

AB（）R

（）[

（）(0,2]

（）解：数，定交是，C.3.二项式)x（）

展开式中，（）

的系数是（）

（）解：

2))x

，A.4.某四棱锥的三视图如图所示，此四棱锥最长的棱长为（）2（）

（）22（）23解：视左左图，视的后点最棱体角线3，选D.5.数列

{}，an

n

，列{b}n

满足，数{b}前项nn（）

|（）33

（）

2n

（）

解：

{b}n

是项1，公为2等数，

1)1

，选C.6

或，，选B.则或，，选B.则则p(3)ppp6.京西某游乐园的摩天轮采用了内首创的横梁结构，风格更加简摩天轮直径88米最高点离地面100米匀速运行一的时间是8分由受到周边建筑物的影响乘客与地面的距离超过34米，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（）10钟（）分钟（）14分（）16分解：右点直的线可不最观位的度120

，故运的圈最观时为8

360360

12

分，B.7."ln(0"立的一个必要而不充分条件是（）

1（）x（）

（）解：先定谁谁以.条可出项但项不条.ln(x，故D.

，

；8.在平面直角坐标系xOy中角与均Ox为始边，它们的终边关于

轴对称．若

25

，则cos(（）

3（）

（）1

（）

解：

25

，

555故cos

25515355259.已知抛物线C:

px的焦点为F，为抛物线C上横坐标为3的，过点的直线交x轴正半轴于点，且ABF为三角形，则（）（）解：点在第象，(3,6p)

（

（）当

pp2

2

化简2)(解舍当

，，2p2

2

，得

（，

（，时在x轴的半，解故7

12，，212，，210.在平面直角坐标系中，从点

(

向直线

kx

作垂线，垂足为

M

，则点Q(2,4)

与点

M

的距离MQ的小值是A.

B.

C.

D.17解：化直过点A

，点在以AP为径圆,小数故

MQ

最值点导圆的离-径即(2min

，A.二填题本题5小，小5分满25分）在中，

2π，AB，则的长为3

.解：弦理

bcosB，故AC.212.在边长为的方体

C111

中，点是正体表面及其内部的一动点，且

BM/平A，动点M的迹所形成区域的面积是

.解：直等模，面ACD//

平ABC，故点的轨为面A，111则点M的轨所成域面是

34

)23

.13.已知双曲线的心在坐标原点，且经过点

(2,

，下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线

该条件的序号是；足条件的双曲线

的标准方程是

.条件①双曲线C离心率e条件②双曲线条件③双曲线

的渐近线方程为的实轴长为.

；解若选①焦可在x轴上或y轴不唯确双线以号②因3，以点

轴，

b233aa

，得

，b

，故足条的曲

C

的准程x.38

11，，21111111112211，，21111111112214.函数()sincos3ππ.f()()，则的小值为62

32

0)

ππ在区间()上调，且2解：f(x)sin3)2223

ππ，在间()上单调6ππ且()f()，故62

22f()sin()3333

k2

(0)，故时取最值1.15.正ABC的边长为，心为O，O的直线l与边ABAC分相交于点N，AMABANAC1①AB3

，

.给下列四个结论：②若

，则AD

③

1

1

不是定值，与直线

l

的位置有关④△与的积之比的最小值为其中所有正确结论的序号是.解：

49

对①正角五合，AO对②

211()323

，确ADAC)ACAB2623624

正确；对③ACAM，因M,,N三点线则333

，故

1

1

，③误小数对④因

1

，故故

49

，ABC

1212

ANAABA

AB

，④确.故①④9

222222三、解题本大共6题满分分解应写文说、算骤证）16.(本题满分12分第24届季奥运会将于2022年2月在北京和张家举办。为了普及冬奥知识京西某校组织全体学进行了冬奥知识答题比赛全众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们分数统计如下：分数段人数

[30,40)[40,50)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]12831我们规定60分下为不及格分以上至70分下为及格分以上至80分下为良好；分以上为优秀．（Ⅰ这20名生中随机抽取2名生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（Ⅰ上样本统计中的频率视为概，从全校学生中随机抽取2人，以X

表示这2人中优秀人数，求X

的分布列与期望解Ⅰ设好2名生是秀一件………………CP()C

……注如没设给了也分（）每同为秀一件B，题可得

41()205

……分X

可0，2……………1分111(X0)),P(1),P(X2()552525……………分X

12P

1625

825

125………………1分12EX55

………………2分

,y),y)3,3)n（小题满分15分图四棱锥PABCD中面ABCD为菱形，PA，PA底面ABCD，

π，且E是PC上一点AC3

BDO.（Ⅰ）求证：平面EBD平面PAC；（Ⅱ）若E是PC的点，求与平面EBC所成角的正弦值．解Ⅰ

平BCDPABD

（1）底形可又PAACA

AC

（2）由1（）可，

BD平面P

…分BD平EBD平EBD面

……2分（）

E是的中，结，则

OE平面BCD

…分所，

,

两垂，立图示坐系…不设AB，则

(3,0,0),D3,0,0),E(0,0,1)

…2分设面

的向为

，

…1分直DE的方向量…………1分n12

121

……直与面所角正弦为

217

……………分

*221*221（小题满分13分已知各项均为正数的数列

{}n

其

项和为

n

.数列

{}n

为等差数列，满足12,.再条件①、条件②这二个条件中选择一个作为己知，求解下列问题：（Ⅰ数

{}n

的通项公式和的和；n（Ⅰ对意nN不等式kS恒成立，求k的值范围条件①2S

条件②a，2，a

注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分．选①（）：

n

时

………………1分当

n2

时

an

n

S

n

（1）

ann

n

（2）式减：nnn

n

………2分而

an

，得

an

n

，列

{}n

为差列…………1分，annn

………………分n

n2

……（）

bdn1

，

b12,b25

，入：

bn

……分由

kS得：knn

12n12n(nn

………分设

n

12n

，

{}n

是减列…分所，

122

，

n

达最…1分所，

的值围

[

………选②解Ⅰ当n2a

aa

，……当n2n2)n……

nn所，

9n2

…………1分

(1)(2n2

……（）

bd，b12,bn1

，入：

nn

……分由

kSnn

得

6nn

………设

n6c2965

，……………6综所，的值围[……1分5

19.（本小题满分15分曲线上一点()到点F距之和为2,点P,y)曲线C上点线l过P且与直线垂,线l与x轴于一点.（Ⅰ）求曲线C的方程及点Q坐标（用点P(x,y)的标表示（Ⅱ）比较

与

QFQF

的大小，并证明你的结论解Ⅰ由意知曲是焦在x轴的圆，a…2分曲的方为

x2

y……………当0时，线lx轴重合不题当0时直l与y轴重，Q是点Q(0,0)………………当时由意：kl

，直l方程yy…分得Q

x

……分综所，Q

x

…………………分（）x,y)满足程

x2

y

…………PFPF

(y(y

……………分将y

x2

代整得

PFPF

y

1212

……xx2

…………1分所，

=

QFQF

…………………

//x///////2/2//x221111//x///////2/2//x22111120.（本小题满分15分已知函fx

1ax2

(aR)．（Ⅰ函()在(0,单递增，求a的值范围；（Ⅰ函

f(

在区间存在极大值M，明：

a2

．解Ⅰf(x)………由意：f()ax…1分x设(x)，导：g(x)…xg()在间(0,1)上，区增g(的小为(1)…1分所，a…………1分（Ⅰ由Ⅰ可知当时，数f()在(0,递增无大1分所，…………1分设h()f

/

()

ax，则h

/

(x

………………f(x)在(0,lna)上减，(lna增f(x)的最小f(ln)a(1a)1分而f(0)，f，(ln)(aln)，设t(x)xx，求得

/

()

xx

t(x)(e)，所，f(ln)(lna)…由点在理：f

/

()在(0,ln)，(ln上别一个点xx，1即f(x)e1

axf(x)12

，0x…分21f(x)在(0,x)上增在减在(x增f(x极值f()1分1111Mfx)1axaxax(2)由值等得2分2222

设1，设1