高中数学苏教版3第二章概率2．6正态分布 苏教版3 　正态分布 学案

2．6正态分布1.了解正态密度函数的概念．2.理解正态密度函数的特点及曲线所表示的意义．3．掌握运用正态分布解决实际问题的方法．1．正态密度曲线函数P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中实数μ和σ为参数，P(x)的图象为正态密度曲线(如图所示)．2．正态分布正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质(1)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称；(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为%.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数p(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()答案：(1)×(2)×(3)√2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()A．0 B．σC．－μD．μ答案：D3．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝()\f(1,5)\f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)答案：D4．已知正态分布密度函数为P(x)＝eq\f(1,2π)e－eq\f(x2,4π)，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．答案：0eq\r(2π)正态分布密度函数与正态曲线若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π)).(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4，4]上的概率．【解】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是P(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝.eq\a\vs4\al()要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．1.标准正态分布的概率密度函数是P(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)(x∈R)．(1)求证：P(x)是偶函数；(2)求P(x)的最大值；(3)利用指数函数的性质说明P(x)的增减性．解：(1)证明：对任意x∈R，有P(－x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(（－x）2,2)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)＝P(x)，所以P(x)为偶函数．(2)令t＝eq\f(x2,2)，当x＝0时，t＝0，et＝1.因为et是关于t的增函数，当x≠0时，t>0，et>1.所以当x＝0，即t＝0时，eeq\s\up6(\f(x2,2))＝et取最小值．所以当x＝0时，P(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)取得最大值eq\f(1,\r(2π)).(3)任取x1<0，x2<0，且x1<x2，则xeq\o\al(2,1)>xeq\o\al(2,2)，－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)<－eq\f(xeq\o\al(2,2),2)，所以e－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)<e－eq\f(xeq\o\al(2,2),2).所以P(x1)<P(x2)，即当x<0时，P(x)递增．又P(x)为偶函数，由偶函数的性质得：当x>0时，P(x)递减．正态分布的计算设X～N(6，1)，求P(4<X<5)．【解】由已知μ＝6，σ＝1，因为P(5<X<7)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝，P(4<X<8)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝，P(4<X<5)＋P(7<X<8)＝P(4<X<8)－P(5<X<7)＝.如图，由正态密度曲线的对称性知P(4<X<5)＝P(7<X<8)，所以P(4<X<5)＝eq\f(1,2)[P(4<X<8)－P(5<X<7)]＝eq\f(1,2)×＝5.eq\a\vs4\al()(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．2.已知ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝，则P(0≤ξ≤2)＝________.解析：因为ξ～N(0，σ2)，所以P(ξ<－2)＝P(ξ>2)＝，P(0≤ξ≤2)＝eq\f(1－P（ξ<－2）－P（ξ>2）,2)＝eq\f(1－2×,2)＝.答案：正态分布的实际应用设在一次数学考试中，某班学生的分数ξ～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．【解】因为ξ～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20.所以P(110－20<ξ≤110＋20)＝.所以ξ>130的概率为eq\f(1,2)(1－＝5.所以ξ≥90的概率为＋5＝5.所以及格人数为54×5≈45(人)，130分以上的人数为54×5≈9(人)．eq\a\vs4\al()正态分布是最常见、应用最广泛的一种分布，人的身高、体重，学生的学习成绩，产品的尺寸等一般都服从正态分布，在解决此类问题时，利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率的值求概率．3.若一批白炽灯共有10000只，其光通量ξ服从正态分布，其概率密度函数是P(x)＝eq\f(1,6\r(2π))e－eq\f(（x－209）2,72)，x∈R.试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)209－6～209＋6；(2)209－18～209＋18.解：由于ξ的概率密度函数为P(x)＝eq\f(1,6\r(2π))e－eq\f(（x－209）2,72)，所以μ＝209，σ＝6.所以μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6.μ－3σ＝209－6×3＝209－18，μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.因此光通量ξ的取值在区间(209－6，209＋6]，(209－18，209＋18]内的概率应分别是和.(1)光通量ξ在209－6～209＋6范围内的灯泡个数大约是10000×＝6830.(2)光通量ξ在209－18～209＋18范围内的灯泡个数大约是10000×＝9970.正态分布的再认识(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．随机变量X服从正态分布N(0，1)，如果P(X＜1)＝3，求P(－1＜X＜0)．【解】如图所示，因为P(X＜1)＝3，所以P(X≥1)＝1－3＝7.所以P(X≤－1)＝7.所以P(－1＜X＜0)＝－7＝3.(1)错因：X～N(0，1)，则正态曲线关于y轴对称，应结合图象找出各区间的对称关系．(2)正态密度曲线的性质可以用来求参数μ和σ.具体方法如下：①正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．由此性质结合图象可求μ.②正态曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此性质，结合图象可求σ.(3)正态总体在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)，若b<μ，则P(X<b)＝eq\f(1－P（μ－b<X<μ＋b）,2).1．设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案：A2．设随机变量X～N(20，32)，若P(X≤a)＝eq\f(1,2)，则a＝________.解析：由正态曲线关于x＝μ对称可知a＝20.答案：203．已知随机变量x服从正态分布(3，1)，且P(2≤x≤4)＝，则P(x>4)＝________．解析：P(x>4)＝eq\f(1,2)[1－P(2≤x≤4)]＝eq\f(1,2)×(1－＝5.答案：5[A基础达标]1．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝，则实数a的值为()A．1 \r(3)C．2 D．4解析：选A.因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以P(X>a)＝.由P(X>1)＝，可知a＝1.2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(（x－10）2,8)，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈%.)A．% B．%C．% D．%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈，P(－6＜ξ＜6)≈，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)≈eq\f－,2)＝5＝%，故选B.4．某班有50名学生，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，已知P(95≤X≤105)＝，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A．10 B．9C．8 D．7解析：选B.因为考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，所以正态曲线关于x＝105对称．因为P(95≤X≤105)＝，所以P(X≥115)＝eq\f(1,2)×(1－×2)＝.所以该班学生数学成绩在115分以上的人数为×50＝9.5．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实根的概率为eq\f(1,2)，则μ＝________．解析：因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实根，所以Δ＝16－4ξ<0，所以ξ>4，即P(ξ>4)＝eq\f(1,2)＝1－P(ξ≤4)．故P(ξ≤4)＝eq\f(1,2).所以μ＝4.答案：46．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得P(ξ>2)＝eq\f(1,2)×[1－2P(0<ξ<1)]＝eq\f(1,2)×(1－＝.答案：7．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于kg小于等于kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________．解析：依题意可知，μ＝，σ＝2，故P＜X≤＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝，从而属于正常情况的人数为1000×＝683.答案：6838．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率．解：依题意μ＝104，σ＝400，所以P(104－800<X≤104＋800)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝.由正态分布性质知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)，故2P(X>10800)＋P(104－800<X≤104＋800)＝1，所以P(X>10800)＝eq\f(1－,2)＝.所以使用时间超过10800小时的概率为.9．如图为某地成年男性体重的正态密度曲线图，试根据图象写出其正态密度函数，并求出随机变量的期望与方差．解：由图易知，该正态密度曲线关于x＝72对称，最大值为eq\f(1,10\r(2π))，所以μ＝72.因为eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,10\r(2π))，所以σ＝10，所以正态密度函数的解析式是P(x)＝eq\f(1,10\r(2π))·eeq\s\up6(\f(－（x－72）2,200))，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝72，方差是σ2＝100.[B能力提升]1．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为__________．解析：由三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝eq\f(1,2)，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率p1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4)，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)2．工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，则在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有________个．解析：因为X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，所以μ＝4，σ＝eq\f(1,3).所以不属于区间(3，5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－＝.1000×＝3(个)．即不属于(3，5)这个尺寸范围的零件大约有3个．答案：33．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从