高中数学人教A版第四章圆和方程 第27课时

第27课时直线与圆的位置关系课时目标1.会用代数方法和几何方法讨论直线与圆的三种位置关系．2．掌握求圆的切线的方法．3．初步学习、体会分类讨论的数学思想，养成严谨的学习态度．识记强化直线与圆位置关系的判定有两种方法：①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ＜0，则相离．②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是()A．相交并且直线过圆心B．相交但直线不过圆心C．相切D．相离答案：D解析：圆心C(1,1)到直线的距离d＝eq\f(|3×1＋4×1＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(19,5)，⊙C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．2．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则实数a的值为()A．±4B．±2eq\r(2)C．±2D．±eq\r(2)答案：C解析：由题意，知直线方程为y－a＝x，即x－y＋a＝0.又直线与圆相切，所以eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(2)，所以a＝±2.3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于()\r(6)\f(\r(6),2)C．1D．5答案：A解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝eq\r(2)，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以直线被圆截得的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6).4．与⊙C：x2＋(y＋4)2＝8相切并且在两坐标轴上截距相等的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条答案：B5．若过点A(0，－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离为d，则d的取值范围为()A．[0,4]B．[0,3]C．[0,2]D．[0,1]答案：A解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)，半径为2，点A(0，－1)在圆外，则当直线l经过圆心时，d最小，当直线l垂直于点A与圆心的连线时，d最大，即d的最小值为0，最大值为eq\r(02＋3＋12)＝4，所以d∈[0,4]．6．直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0答案：D解析：∵圆的半径为5，|AB|＝8，∴圆心(－1,2)到直线l的距离为3.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点(－4,0)，所以直线l的方程为x＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l的距离为3，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则圆心(－1,2)到直线l的距离为eq\f(|－k－2＋4k|,\r(k2＋1))＝3，解之得k＝－eq\f(5,12)，∴直线l的方程为－eq\f(5,12)x－y－eq\f(20,12)＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.综上所述，满足题意的直线l为5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故选D.二、填空题(每个5分，共15分)7．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为________．答案：x－eq\r(3)y＋2＝0解析：由题意，知圆心为(2,0)，圆心与点P连线的斜率为－eq\r(3)，所以所求切线的斜率为eq\f(\r(3),3)，则在点(1，eq\r(3))处的切线方程为x－eq\r(3)y＋2＝0.8．垂直于直线2x－y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程为__________．答案：x＋2y＋5＝0或x＋2y－5＝0解析：设所求直线方程为x＋2y＋m＝0，依题意eq\f(|0＋2×0＋m|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，∴m＝±5.9．以C(2，－1)为圆心，截直线x＋y＋1＝0所得的弦长为2eq\r(2)的圆的方程是__________．答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝4解析：已知弦长求圆的半径，利用r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2，r为圆的半径，eq\f(l,2)为弦长的一半，d为圆心到直线的距离．∵d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，eq\f(l,2)＝eq\r(2)，∴r＝eq\r(d2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2)＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.三、解答题10．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2eq\r(2)，求圆的方程．解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，∴a＋2b＝0.①又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2eq\r(2)，∴(eq\r(2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b＋1|,\r(12＋－12))))2＝r2.③由①②③可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝－3,r2＝52))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝14,b＝－7，,r2＝244))故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.11．(13分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对任意的m∈R，直线l与圆C恒有两个交点；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解：(1)方法一：由已知可得直线l：(x－1)m－y＋1＝0，∴直线l恒过定点P(1,1)．又12＋(1－1)2＝1＜5，∴点P在圆内，∴对任意的m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．方法二：圆心C(0,1)到直线l的距离为d＝eq\f(|－1＋1－m|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))＜eq\f(|m|,|m|)＝1＜eq\r(5)，∴直线l与圆C相交，∴对任意的m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．(2)如图所示，由(1)，知直线l恒过定点P(1,1)，且直线l的斜率存在．又M是AB的中点，∴CM⊥MP，∴点M在以CP为直径的圆上．又以CP为直径的圆的方程为(x－eq\f(1,2))2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)，∴点M的轨迹方程为(x－eq\f(1,2))2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)(x≠1)．能力提升12．(5分)过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有________条．答案：32解析：圆方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．13．(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．解：(1)证明：直线方程可变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.∵m∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0,x＋y－4＝0))，⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝