高中数学高考二轮复习 2023届高考数学专题复习学案不等式2

三角方法本节采用三角方法研讨几何不等式。定理：若是内部一点，从向三边作垂线，则：这个不等式是鄂尔多斯在1935年的猜想，同年被莫德尔证明，故被命名为鄂尔多斯-莫德尔不等式。证明：将其变换为三角几何不等式。记：，，，并应用正弦定理和余弦定理。ABCPH1ABCPH1H2H3所以四点共圆，为圆直径。由正弦定理得：，即：=1\*GB3①由余弦定理得：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得：=3\*GB3③同理：=4\*GB3④=5\*GB3⑤由=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤得：=6\*GB3⑥于是，我们只需证明：=7\*GB3⑦由于等项数多且根号，我们采用其平方策略，以及。由=3\*GB3③式及放缩法得：即：同理：，故由=6\*GB3⑥式：本题由放缩法得到：.证毕。用同样的技巧继续以下的题目。【试题4】在锐角中，设分别是垂直于的垂足，试证：式中，代表三角形的周长。ABCDEABCDEFPQR设：为的外接圆半径，由正弦定理得：=1\*GB3①由于：，在中，由余弦定理得：即：即：同样，，，=2\*GB3②由于对于如图所示的三角形，因为为垂足，则，，故：，，于是：同样：，=3\*GB3③且，则在中，由余弦定理得：或：=4\*GB3④这里：同理：，=5\*GB3⑤由于，，则：简写为：=6\*GB3⑥而：简写为：=7\*GB3⑦简写为：=8\*GB3⑧那么，将=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧代入式得：这样，我们需要攻克这个不等式式，或者现在，必须找到一个有界的，我们再次将它表示为两个平方和.=9\*GB3⑨其中=10\*GB3⑩将=10\*GB3⑩代入=9\*GB3⑨得：所以：即：如果证明：则式就得证。实际上，由柯西-苏瓦茨不等式得：其中，均为正实数，因此式由柯西-苏瓦茨不等式得证。另外，也可以得到的下限：由此可得周长的下限，由=7\*GB3⑦式和式：考虑下面不等式：或：或：然而，这个结果是不成立的，请证明。这里，=10\*GB3⑩式的方法是本题的灵魂，注意应用三角方法的这个思想。【试题5】设三边为，，的三角形内心为，试证：对所有点满足【证明】这个几何不等式源于下列几何恒等式：有多种方法建立这个恒等式，在笛卡尔平面坐标系，使，，.设为内切圆半径，为半周长，则得到内心.由三角形面积及海伦公式得：，即：=1\*GB3①设，则：；；.一方面可得到：BACxy=2\*GB3②BACxy另一方面得到：=3\*GB3③由=2\*GB3②-=3\*GB3③得：=4\*GB3④下面我们计算=4\*GB3④的方括号，代入=4\*GB3④式得：=5\*GB3⑤这就证明了恒等式成立。本题的方法是建立平面坐标系，并设点以及的坐标，采用解析方法证明。【试题6】设锐角三角形的外心为，点为点在上的垂足。假设.试证：.【解析】不等式：可以写成：即：=1\*GB3①ABCPOD对于，=1\*GB3①式表示：=2\*GB3②ABCPOD（注：就是三角形中，大角对大边）由圆的相交弦定理得：即：=3\*GB3③这里，为的外接圆半径。由=3\*GB3③和=2\*GB3②式得：，即：=4\*GB3④由正弦定理：，代入=4\*GB3④式得：即：=5\*GB3⑤=5\*GB3⑤式就是需要我们证明的。最后代入角度条件：得到三角不等式：=6\*GB3⑥由于，，所以.证毕。最后我们用鄂尔多斯-莫德尔不等式加强版的巴罗斯不等式结束本节，需要知道下列三角不等式：命题：设为实数，且满足，则：证明：由得：则：即：则：证毕。推论1：设为正实数，设为实数，且满足，试证下面不等式：证明：设，，=1\*GB3①由得：=2\*GB3②将=1\*GB3①代入=2\*GB3②得：即：证毕。定理：设为内一点，为的角平分线与的交点。试证：证明：设，，，，，，，，.我们需要证明：这个很容易由下列恒等式放缩得到：令：，，采用不等式得：由上面的推论式得：证毕。应用上面的三角命题，可以得到下面的不等式推论：设为正实数，设为实数，且满足，则：证明：设，，按，命题即：且：若，则加上