高中数学北师大版第一章三角函数单元测试 学业分层测评第1章3弧度制

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在半径为10的圆中，eq\f(4π,3)的圆心角所对的弧长为()\f(40,3)π B．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)π D．eq\f(400,3)π【解析】l＝|α|r＝eq\f(4π,3)×10＝eq\f(40π,3).【答案】A2．(2023·华阴高一检测)自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过()\f(5π,11)rad B．eq\f(44π,5)rad\f(5π,22)rad D．eq\f(22π,5)rad【解析】由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过eq\f(88,20)周，eq\f(88,20)×2π＝eq\f(44π,5).【答案】B3．与30°角终边相同的角的集合是()\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))【解析】与30°角终边相同的角α＝k·360°＋30°，k∈Z化为弧度制为α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.【答案】D4．(2023·宜川高一检测)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是()\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))【解析】终边经过点(a，a)(a≠0)的角，即角的终边落在了直线y＝x上，即此角的终边为第一、三象限角的平分线，故角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)).【答案】D5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所对的扇形面积是()A．4cm2 B．2cm2C．4πcm2 D．2πcm2【解析】设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，得r＝eq\f(4,2)＝2(cm)，∴S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×2×22＝4(cm2)，故选A.【答案】A二、填空题6．(2023·榆林高一检测)若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________.【导学号：66470005】【解析】216°＝216×eq\f(π,180)＝eq\f(6π,5)，l＝α·r＝eq\f(6π,5)·r＝30π，所以r＝25.【答案】257．用弧度表示终边落在y轴右侧的集合为________．【解析】y轴对应的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y轴右侧角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ|－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ|－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为________．【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.【答案】－eq\f(14π,3)三、解答题9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)的长；(2)扇形所含弓形的面积．【解】(1)∵120°＝eq\f(120,180)π＝eq\f(2,3)π，∴l＝|α|·r＝6×eq\f(2,3)π＝4π，∴的长为4π.(2)∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，于是有S△OAB＝eq\f(1,2)×AB×OD＝eq\f(1,2)×2×6×cos30°×3＝9eq\r(3).∴弓形的面积为S弓＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3)，∴弓形的面积是12π－9eq\r(3).10．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).【解】(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14,9)π.∴α＝－800°＝eq\f(14,9)π＋(－3)×2π.∵角α与eq\f(14,9)π终边相同，∴角α是第四象限角．(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ＋eq\f(14,9)π，k∈Z的形式，由γ与α终边相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z.又∵γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)<2kπ＋eq\f(14π,9)<eq\f(π,2)，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9)＝－eq\f(4π,9).[能力提升]1．设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋－1k×\f(π,2)，k∈Z))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，则集合A与B之间的关系为()A．AB B．ABC．A＝B D．A∩B＝∅【解析】分别取k＝0,1,2,3知A中元素为0，eq\f(π,2)，eq\f(5π,2)，B中元素为eq\f(π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(9,2)π，eq\f(13,2)π，显然AB.【答案】A2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C．2sin1 D．eq\f(2,sin1)【解析】设圆的半径为R，则sin1＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1).故所求弧长为l＝α·R＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).【答案】D3．已知∠AOB＝1rad，点A1，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段长均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为1单位/秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为________秒．图1－3－4【解析】＝10.直线段共走10段．所以总路程为1＋2＋3＋…＋10＋10＝65.所以所需时间为65秒．【答案】654.如图1－3－5，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于A点，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．OP逆时针方向每秒转eq\f(π,3)，OQ顺时针方向每秒转eq\f(π,6).试求P，Q出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长．图1－3－5【解】易知，动点P，Q由第k次相遇到第k＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR，因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10πR.设动点P，Q自A点出发到第五次相遇走过的时间为t秒，走过的弧长分别为l1，l2，则l1＝eq\f(π,3)tR，l2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))·tR＝eq\f(π,6)tR.因此l1＋l2＝eq\f(π,3)tR＋eq\f(π,6)tR＝10πR，所以t＝eq\f