2021-2022学年广东省广州市高三(上)调研数学试卷(10月份)(附答案详解)

222220212022学广东省广市高（上调研数学试（月份）一、单选题（本大题共8小题，40.0分

若复数满足，()

B.

C.

𝑖

D.

已如集，，𝐵)

B.

C.

D.

−𝑐

B.

C.

D.

双曲线的近线方程是，其离心率为22

B.

C.

D.

把标号，，，的个小球分别放入标号为，，，的个盒子，每个盒子只放一个小球，则号球和号都不放号子的方法共

种

B.

种

C.

种

D.

种

已知数𝑎满𝑎𝑎𝑎，𝑎，，𝑎7

B.

C.

D.

一个四面体的顶点在空间直直角坐标中的坐标分，，，则四面体的外接球的表面积

B.

C.

D.

设函数在上导，其导函数为，且函数的像如图所示，则下列结论中正确的第1页，共页

22𝑛22𝑛B.C.D.

函数有极大值和函数有极小值(和函数有极小值和大函数有极小值和大二、多选题（本大题共4小题，20.0分

投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如和表所，表股票甲收益的分布列收益元概率

表股票乙收益的分布列收益元概率

则下列结论中正确的)B.C.D.

投资股票甲的期望收益较小投资股票乙的期望收益较小投资股票甲比投资股票乙的风险高投资股票乙比投资股票甲的风险高10.已知线：𝑚

𝑦𝑛

𝑚𝑛，下列命题中为真命题的B.C.

若𝑚+𝑛，是若𝑚，<，𝑚𝑛，则是椭圆若𝑚𝑛，是曲线，且渐近线方程𝑦√𝑚

D.

若𝑚，𝑛，则是圆，其心率√

𝑚𝑛11.已知，，且，第2页，共页

B.

C.

D.

12.如图中边的点，eq\o\ac(△,)沿翻eq\o\ac(△,)𝐴

，若为线

的点，则在翻折过程中，下列结论中正确的

翻折到某个位置，使

B.

翻折到某个位置，使

平C.

四棱锥

体的最大值为

4D.

点在某个球面上运动三、单空题（本大题共4小题，20.0分13.已知量，

，若，则的为．14.若圆的上，下底面半径分，，，该圆台的侧面积．15.如图海岸线一有一休闲游乐场场的其中一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，[4,0]的像，图像的最高点为，曲线上入口到岸的距离为千米，现准备从入口修一条笔直的最观路，则景观的为______千米．16.已知数，且，的值范围是．四、解答题（本大题共6小题，70.0分第3页，共页

2𝑛𝑛2𝑛设列的前项，明：𝑛1)𝑏17.广州届三年级阶段为培养学生对传2𝑛𝑛2𝑛设列的前项，明：𝑛1)𝑏校各抽名生参加传统文化知识竞赛成分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如表：优秀人数非秀人数

总计甲班乙班总计

甲乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少？能有的握认为甲校成绩优秀与乙成绩优秀有差异？

𝑛(𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑎𝑐𝑎𝑏

．

在项均为正数的等比数𝑎中，𝑎，𝑎𝑛

𝑛1

，𝑎𝑎成等差数列．等差数列𝑏

满足𝑏𝑎

，𝑏

𝑏𝑎

．求列𝑎，𝑏的项公式；𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

．第4页，共页

7在中，，，分为内，，的边，𝑠．求；7若是线的点，

，，的积．如，在四棱平，，，为的点，分和上且

．若在上且平面，证：平；若线与平面所成角的正弦值为，二面角的弦值．第5页，共页

已抛物线：2的点点在上|求；过作条互相垂直的直，，与交，两点与线交点，是为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．已函

𝑥．讨函的调性；若的导函数函数有两个不同的零点

证：12

．第6页，共页

答案和解析1.【答案】【解析】解：因为，所以

．故选：利用复数的除法运算法则，求解即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算法则的运用，属于基础题．2.【答案】【解析】解：集合，{

𝑥

或，𝐵．故选：．求出集，此利用交集定义能求．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】【解析】解：

．故选：由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，化简所给的式子，从而求得果．本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．第7页，共页

，𝑎𝑎即，𝑏则5𝑛1𝑛55𝑛4.，𝑎𝑎即，𝑏则5𝑛1𝑛55𝑛【解析】解：双线的渐近线为

，𝑏𝑎4𝑎，即4

𝑎

，则

54

，即

，故选：．根据双曲线的渐近线方程，建𝑎，的系，进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算据双曲线的渐近线建𝑏的关系是解决本题的关键．5.【答案】【解析】解：号和号都不放号子的，号子号号两种方法，剩个盒子各放一个球

种方法，号和号都不放号子的方法共种故选：．先确定号子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，结合分步乘法计数原理，即可求解．本题主要考查排列及简单计数问题握分步乘法计数原理是解本题的关键于基础题．6.【答案】【解析】解：由𝑎

𝑎𝑎𝑛𝑛2

，可知数列𝑎

为等比数列，所以，𝑎𝑎

，且奇数项的符号相同，，所以𝑎故选：．根据题意可知，数列𝑎

为比数列，利用等比数列的性质，即可求𝑎5第8页，共页

．

本题考查等比数列的定义，等比数列的中项，等比数列的性质，考查转化思想，属7.【答案】【解析方

中，以点坐标原点立空间直角坐标系如图所示，则该四面体

，其外接球即为该正方体的外接球，所以外接球的直径为2𝑅，，所以该四面体的外接球的表面积

．故选：．将四面体放置于正方体内该面体的外接球即为该正方体的外接球球表面积公式求解计算即可．本题考查了四面体的外接球的表面积的求解方体的外接球的理解与应用解多面体的外接球半径的常用方法为补形法；利球的性质定法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．8.【答案】【解析解当时递减；

且，，单当时，

，，当时

且，得，则单递增；当时，

，否等于，不能确定，当时

且，，则单调递增；当时，当时

，，且，得，则单递减．故(有极小值(和大．故选：第9页，共页

根据图象判断出导函的负，由此得的单调性以及极值，即可得到本题考查了导数的综合应用导数图象的理解与应用用导数研究函数单调性以及函数极值的应用，极值的定义的运用，考查了逻辑推理能力与识图能力，属于中档题．9.【答案】【解析】解：甲收益的期望，方差(−

，乙收益的期，方差(

，所以(，，投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选：．根据已知条件，结合离散型随机变量的期望与方差公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．【案【解析】解：中当，可，所以曲的方程为：

，，是圆，所不确；中，，且，

，的数为正，且不相等，可得曲为椭圆，所以B正；，只时曲是曲线，所以C正；中，若，，是圆，，，所，所以离心率

√√，所以D正；故选：．由双曲线及椭圆，圆的方程的形式可得参数的范围，进而判断所给命题的真假．本题考查椭圆，双曲线和圆的方程的形式的应用及椭圆的离心率的求法，属于中档题．【案第10页，共18页

333,【解析】解：对于，，333,

3

在上单调递增，，

3

3

，故A正，对于，令

，44

，满足，，，错误，对于，，，

，设(

𝑎

，由对勾函数的性质可知在上单调递增，

𝑎

1

，，确，故对于令，，足，

，故错．故选：．对于结上单调递增即求解对结合特殊值法可求解，对于结合换元法和对勾函数的性质可解对结合特殊值法可求解．本题主要考查函数的性质与不等式的综合应用握特殊值法是解本题的关键属于中档题．【案【解析】解：对于选，由题，若存在某个位置使，于，故A

平面，，由，，由于在折叠过程中，

，以存在某个位置，使，故存在某个位置，使

，故A选项正确；，对于选项，若存在某个位置，使平面则有𝐶，另一方面，在矩中故AC不立，所以选错误；

44

，对于选，四棱

体积的最大时，平面平面，由eq\o\ac(△,)𝐴

是等腰直角三角形，所以此时

到平面的离为，第11页，共18页

所以四棱锥

体的最大值为⋅，334故项正确；对于项，中，接，由于为段

的中点，所以

，所以在点为心的球面上，故D选正确．故选：．对于选，

时时满足条件；对选，由不立，进而可判断；对选，当平

平面时四棱锥体积的最大，再求解即可；对选项，中点，连接，可在点为心的球面上．本题主要考查立体几何中的翻折问题体的最值问题中垂直关系等知识，属于中等题．【案【解析】解：，解得．故答案为：．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．第12页，共18页

所以【案所以【解析】解：由题意，作出圆台轴截面如图所示，，，所以𝐶，故圆台的母

，所以圆台的侧面积为

．故答案为：．作出圆台的轴截面利勾股定求出圆台的母线根据圆台侧面积公式计算求解即可．本题考查了圆台的侧面积的求解题的关键是作出圆台的轴截面析个量之间的关系，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．【案【解析】解：由条件可得：，，又，所以，6将(代入可得

6

，即

6

，因为，所以

，所以𝑖当时

，6即

，6所以

6

，6

或，，6解得或，第13页，共18页

ln(+1)1,≥60ln(+1)1,≥602所以2，所以=故答案为先由图象求出函数解析式，再根点坐求横标勾定得．本题考查了利用图象求出三角函的解析式解式决问题础题．【(2∞)ln(1)+<<1【解析解：因(={，所1<<<1)+ln(+1)(+1)=．所以+=(+1)+(+2=+1)

+1

2

2，设)=+

2

2，()(+上单调递增所()()=22故答案为(2利()=()得出，足系(+1)(+1)，入=(1)+1)2，，造函数求解本题考查对数函数的图像与性质考查函数值域的求解，属于中档题．【】甲竞赛成优秀的频率为100

=乙校竞赛成绩优秀的频为70100

=2=，5%的把为甲校成绩秀与乙校成绩优秀有差异．【解析根已知条件，结频率与频数的关系，即可求解．根知条件，结合独立性验公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，要学生熟练掌握公式，属于基础题．【】各均为正的等比数中

1

=，

+1

，，

+2

成等差数列，第14页，共18页

𝑛𝑛⋅⋅𝑛𝑛𝑛⋅⋅𝑛⋅3，即有

，，𝑛𝑛𝑛即

，解得或舍去，𝑛

𝑛

，设等差数列

的公差为，

，，，解得，𝑛𝑛；𝑛证明：

𝑛1)𝑛3)𝑛1𝑛3

，7𝑛1𝑛3𝑛36

，问题得以证明．【解析根等差数列的性质和等比数列的通项公式即求出，再根据等差数列的通项公式即可求出；根裂项相消和放缩法即可证明．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式裂求和”考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.

【答案】解：由𝑜𝑏可得𝑛𝑖𝑛𝑛，即为𝑛𝐵即𝑛=，因为𝑖𝑛𝐵，以，所以内

𝜋

；因为

所以

即为

𝑐，第15页，共18页

．224242解得舍，．224242所eq\o\ac(△,)𝐴的积√222【解析由弦定理和两角和的正弦公式，化简整理可所求角；由量的中点表示和向量数量积的定义和性质，解方程可，由三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的运用考查化简运算能力，属于中档题．【案平面平面平面𝐷平面，，为的中点，为中点，

，

，

，

2

，𝑀，平面，面，𝑀平面；由于平，则以为标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,，

,,，设平面的向量，

+𝑧，则可取，，，，平面，平面，平，平的个法向量为，第16页，共18页

，000𝜋，216，设二面，000𝜋，216，

3二角的平面角为钝角，二角的平面角的余弦值．3【解析根线面平行的性质定理结合已知可，由此可得证；建空间直角坐标系，求出平，平的向，再利用向量的夹角公式求解即可．本题考查线面平行的判定定理及性质定理查利用空间向量求解二面角的余弦值查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．【案】解：因点

在上所以，0因为，以由焦半径公式|

，，由解所以．由知物线的方程

焦点坐标为(0,1)，当直线轴行，此时的程0𝑙的方程为，，，eq\o\ac(△,)𝑀为腰直角三角形，故

𝜋

．当直线轴平且斜率存在时，为定值，则定值比为，下面证明．要证明

𝜋

，只需证明，只需证，0设直线的率，则直线的程直线的程

，联立方程直线方程与抛物线方程

，,，𝑥,，则12

，联立方{

得，所以(𝑦所以⋅