高中数学人教A版第二章数列 全国优质课

第二章第1课时基础巩固一、选择题1．(2023·湖南岳阳模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＝2a1，则eq\f(a1＋a3,a2＋a4)的值为eq\x(导学号54742264)(C)A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[解析]∵等差数列{an}的公差为d≠0，且a3＝2a1，∴a3＝a1＋2d＝2a1，∴a1＝2d，∴an＝2d＋(n－1)d＝(n＋1)∴eq\f(a1＋a3,a2＋a4)＝eq\f(2d＋4d,3d＋5d)＝eq\f(3,4).2．(2023·四川南充期中)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是eq\x(导学号54742265)(B)A．2 B．3C．6 D．9[解析]由题意得2n＋m＝8,2m＋n＝10.两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以m和3．(2023·重庆理，2)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝eq\x(导学号54742266)(B)A．－1 B．0C．1 D．6[解析]根据题意知：a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.4．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项eq\x(导学号54742267)(B)A．60 B．61C．62 D．63[解析]设公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝33,a1＋44d＝153))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝21,d＝3)).∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.5．等差数列的首项为eq\f(1,25)，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是eq\x(导学号54742268)(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))，∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).6．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于eq\x(导学号54742269)(B)A．40 B．42C．43 D．45[解析]设公差为d，则a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12二、填空题7．(2023·甘肃嘉峪关期末)已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差数列，则△ABC的形状为等边三角形.eq\x(导学号54742270)[解析]由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b.①由eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列得eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b).②②2－①得2eq\r(ac)＝2b，即b2＝ac.将①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2③，将b2＝ac代入③得a2＋2ac＋c2＝4ac，即(a－c)2＝0，∴a＝又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b，∴a＝b，∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形8．一个直角三角形三边长a、b、c成等差数列，面积为12，则它的周长为12eq\r(2).eq\x(导学号54742271)[解析]由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c,\f(1,2)ab＝12,a2＋b2＝c2))，解得b＝4eq\r(2)，a＝3eq\r(2)，c＝5eq\r(2)，∴a＋b＋c＝12eq\r(2).三、解答题9．成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数.eq\x(导学号54742272)[分析]已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．[解析]设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26①,a－da＋d＝40②))由①，得a＝eq\f(13,2).代入②，得d＝±eq\f(3,2).∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.[点评]对称法设未知项(1)若三个数成等差可设为a－d，a，a＋d.(2)若四个数成等差，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.请练习：已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．[解析]设等差数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21,aa－da＋d＝231))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝21,aa2－d2＝231))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝±4)).∵等差数列{an}是递增数列，∴d＝4.∴等差数列的首项为3，公差为4.∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.10．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？eq\x(导学号54742273)[分析]等差数列中只要已知首项和公差就可以写出数列．由a15＝a1＋14d，a61＝a1＋60d解关于a1和d的方程组；也可以利用等差数列的通项是关于n的一次函数(d≠0)来考虑．[解析]解法一：设首项为a1，公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋15－1d＝33,a1＋61－1d＝217))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23,d＝4))，∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，∴153是所给数列的第45项．解法二：∵{an}不是常数列，∴{an}的通项公式是关于n的一次函数．假设153是该数列的第n项，则(15,33)，(61,217)，(n,153)三点共线．∴eq\f(217－33,61－15)＝eq\f(153－33,n－15)，解得n＝45∈N*.∴153是所给数列的第45项．能力提升一、选择题11．等差数列前三项为x－1，x＋1,2x＋3，则这个数列的通项公式为eq\x(导学号54742274)(C)A．an＝2n＋1 B．an＝2n－1C．an＝2n－3 D．an＝2n－5[解析]由条件知，2(x＋1)＝(x－1)＋(2x＋3)，∴x＝0，∴此等差数列的首项a1＝1，公差d＝2，∴an＝2n－3.12．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则eq\f(d1,d2)等于eq\x(导学号54742275)(C)A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)[解析]由题意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，∴d1＝eq\f(b－a,3)，d2＝eq\f(b－a,4)，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(b－a,3)·eq\f(4,b－a)＝eq\f(4,3).13．设等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n是eq\x(导学号54742276)(C)A．48 B．49C．50 D．51[解析]a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq\f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq\f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50.二、填空题14．一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).eq\x(导学号54742277)[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝3x，))∴a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为eq\f(67,66)升.eq\x(导学号54742278)[解析]设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答题16．设{an}是等差数列，若am＝n，an＝m，(m≠n)，求am＋\x(导学号54742279)[解析]设公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋m－1d＝n,a1＋n－1d＝m))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝m＋n－1,d＝－1))，∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝(m＋n－1)－(m＋n－1)＝0.[点评]解答本题经常出现的错误是：am＋n＝am＋an＝m＋n.错因是，在等差数列中，只有当两项的序号和相等时，其对应项的和才相等，而上述解答中，am＋an是两项的和，而am＋n只有一项，虽然序号满足但项数不符．17．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝f(an－1)，n≥2，n∈N*.eq\x(导学号54742280)(1)证明：{eq\f(1,an)}是等差数列．(2)求a95的值．[解析](1)证明：因为an＝f(an－1)，所以an＝eq\f(2an－1,an－