高中数学人教A版第一章空间几何体（市一等奖）

章末分层突破[自我校对]①棱锥②圆锥③正视图④侧视图⑤俯视图⑥S表＝S侧＋S底，V＝Sh⑦S表＝S侧＋S底，V＝eq\f(1,3)Sh⑧S表＝4πR2，V＝eq\f(4,3)πR3(教师用书独具)空间几何体的结构特征(1)类比记忆棱柱、棱锥、棱台等多面体的概念、性质．(2)圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，其轴截面其实为旋转的平面图形及其关于旋转轴对称的图形的组合，它反应了这三类几何体基本量之间的关系，因此轴截面是解决这三类几何体问题的关键．(3)球是比较特殊的旋转体，球的对称性是解题的突破口．(4)对于简单组合体的性质的研究多采用分割法，将其分解为几个规则的几何体再进行研究．根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由六个面围成，其中一个面是凸五边形，其余各面是有公共顶点的三角形；(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形；(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．【精彩点拨】根据所给的几何体结构特征的描述，结合所学几何体的结构特征做出判断．【规范解答】(1)如图①，因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形，所以是棱锥，又其底面是凸五边形，所以是五棱锥．(2)如图②，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．(3)如图③，过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O，将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．[再练一题]1．斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】如图所示，在斜四棱柱AC′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，所以四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形，但面AA′D′D和面BB′C′C可以为矩形．故选C.【答案】C空间几何体的三视图与直观图三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，为了使空间图形的直观图更加直观、准确地反映空间图形的大小，往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影，然后把这些投影放在同一个平面内，并有机结合起来表示物体的形状和大小，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它的长和高，侧视图反映它的宽和高．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(1)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图1­1所示，则其侧视图为()图1­1(2)如图1­2，ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2eq\r(2)，则该平面图形的实际面积是________.图1­2【精彩点拨】(1)解答本题根据各种几何体的结构特征，充分发挥空间想象能力，先确定是什么几何体，再确定其侧视图．(2)eq\x(直观图)→eq\x(斜二测画法规则)→eq\x(原几何体)→eq\x(面积)【规范解答】(1)根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为：所以侧视图如图所示．(2)由斜二测直观图的作图规则知，该平面图形是梯形，且AB、CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝4eq\r(2)，∴S＝eq\f(1,2)(4＋6)×4eq\r(2)＝20eq\r(2).【答案】(1)C(2)20eq\r(2)[再练一题]2．(1)将正方体(如图1­3(1)所示)截去两个三棱锥，得到图1­3(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()图1­3(1)图1­3(2)(2)若某几何体的三视图如图1­4所示，则这个几何体的直观图可以是()图1­4【解析】(1)图1­3(2)所示的几何体的侧视图由点A，D，B1，D1确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚，其中要把AD1和B1【答案】(1)B(2)D空间几何体的表面积和体积空间几何体体积与表面积的计算方法：(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体的体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决．(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题．(4)构造法：对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．如图1­5，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．图1­5【精彩点拨】题中的几何体是一个不规则图形，无法直接利用公式来计算其体积，需通过割补法转化为规则的几何体后再利用公式计算．【规范解答】在该几何体的上面，再补一个倒立的同样几何体，则构成底面半径为r，高为a＋b的圆柱．∴其体积为eq\f(1,2)πr2(a＋b)．【答案】eq\f(πr2a＋b,2)[再练一题]3．如图1­6(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图1­6(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为()图1­(6)(1)图1­6(2)A．(1＋2eq\r(2))a2 B．(2＋eq\r(2))a2C．(3－2eq\r(2))a2 D．(4＋eq\r(2))a2【解析】正方体的边长为eq\f(\r(2),2)a，新几何体的全面积S＝2×eq\f(\r(2),2)a×a＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋2×a×eq\f(a,2)＝(2＋eq\r(2))a2.【答案】B化归与转化思想化归与转化思想，其实质就是化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉，化整为零，从而达到解决问题的目的．转化思想在本章中也有较多应用，主要体现在以下几个方面：一是立体问题平面化，如旋转体中轴截面的应用，侧面展开图的应用．二是等积变换，如三棱锥变换顶点．三是割补法的应用，把不规则的几何体通过割补转化为规则的几何体．如图1­7所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．图1­7【精彩点拨】利用圆台的侧面展开图转化到平面图形解决．【规范解答】如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．连接MB′，P，Q分别为圆台的上、下底面的圆心．在圆台的轴截面中，∵Rt△OPA∽Rt△OQB，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(PA,QB).∴eq\f(OA,OA＋20)＝eq\f(5,10)，∴OA＝20(cm)．设∠BOB′＝α，由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝2×OB×π×eq\f(α,360°)，即20π＝2×(20＋20)π×eq\f(α,360°)，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝eq\r(OM2＋OB′2)＝eq\r(302＋402)＝50(cm)，即所求绳长的最小值为50cm.[再练一题]4．圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为()A．10cm \f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cm D．5eq\r(π2＋1)cm【解析】如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A′到C的线段的长．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝eq\f(1,2)×2π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴A′C＝eq\r(A′B2＋BC2)＝eq\r(\f(25,4)π2＋25)＝5eq\r(\f(π2,4)＋1)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．【答案】B1．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()\f(2π,3) \f(4π,3)\f(5π,3) D．2π【解析】过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，选C.【答案】C2．某三棱锥的三视图如图1­8所示，则该三棱锥的体积为()图1­8\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) D．1【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P­ABC，通过侧视图得高h＝1，底面积S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).【答案】A3．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图1­9所示，则该几何体的体积为()图1­9\f(1,3)＋eq\f(2,3)π \f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)π\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)πC[由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为eq\f(\r(2),2)，从而该几何体的体积为eq\f(1,3)×12×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq