试卷分类汇编-矩形、菱形、正方形

10矩形、菱形、正方形一、选择题〔20233〕2ABCDMADMD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【 】3〔A〕3

1〔B〕3

〔C〕5+1〔D〕 155【答案】D。55【考点】正方形的性质，勾股定理。【分析】CMMEDM=DEDE，从而得到1DG的长：∵四边形ABCDM为边AD，∴DM=5552555

DC=1。DC2DMDC2DM2

22+12=

。∴ME=MC=

。∴ED=EM－DM=

1。5∵四边形EDGF，∴DG=DE=5

1。应选D。〔20234〕为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如下图的正八a，则阴影局部的面积为【】A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2【答案】A。【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。【分析】图案中间的阴影局部是正方形，面积是a2，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影局部是对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：1 1a2 a22 2

42a2

。应选A。〔2023山西省2分如图菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是【 】5 3cm B．2 5cm【答案】D。【考点】菱形的性质，勾股定理。

C．48cm D．24cm5 51 1【分析】∵四边形ABCD，∴CO=2AC=3，BO=2BD=，AO⊥BO，CO2CO2+BO232+42∴BC=

5。∴S菱形ABCD

2BDAC26824。又∵S菱形ABCD

BCAE，∴BC·AE=24，即AE24cm。应选D。5〔2023陕西省3分〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，假设∠ADC=1300，则∠AOE的大小为【 】5°【答案】B。

B．65° C．55° D．50°【考点】菱形的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】依据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再依据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°－130°=50°。1 1∴∠BAO=2∠BAD=2×50°=25°。∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°－∠BAO=90°－25°=65°。应选B。〔20234〕如图，菱形ABCDAB=2，∠A=120°，点P，Q，KBC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】33A．1 B． C．2 D． ＋133【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值。【分析】分两步分析：假设点P，QKP关于BDPPQ，交BDK1 1 1由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得PK=PK，PK=PK。11 1 1由三角形两边之和大于第三边的性质，得PK＋QK＞PQ=PKQKPK＋QK1 1 11 1 1 1∴此时的K就是使PK+QK1点P，QPBD的对称点P在AB1PBCP总在AB1PQ⊥AB1PQ1过点A作AQ⊥DC于点Q∵∠A=120°，∴∠DAQ=30°。1 1 133又∵AD=AB=2，∴PQ=AQ=AD·cos300=2 。331 1 33综上所述，PK+QK的最小值为 。应选B。3〔2023江苏南通3分如图矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为【 】3cm B．2cm C．23cm D．4cm【答案】D。【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。1【分析】在矩形ABCDAO=BO=2AC=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB是等边三角形。∴AB=AO=4cm。应选D。〔20233〕如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.AC=4，则四边形CODE的周长是【 】OEOD CA BA.4 B.6 C.8 D.10【答案】C。【考点】矩形的性质，菱形的判定和性质。【分析】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形。1∵四边形ABCD，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD。∴OD=OC=2AC=2。∴四边形CODE是菱形。∴四边形CODE：4OC=4×2=8。应选C。18.〔2023江苏徐州3分ABCDE是CDF在BCFC=4BC。图中相像三角形共有【 】A．1对 B．2对 C．3对【答案】C。

D．4【考点】正方形的性质，勾股定理，相像三角形的判定。【分析】依据正方形的性质，求出各边长，应用相像三角形的判定定理进展判定：同，设CF=aCE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。依据勾股定理，得EF=5a，AE=2 5a，AF=5a。52 5CFCEEF1,CFCEEF ,DEDAAE 。52 5DE DA AD 2 EF EA AF 5 EF EA AF 5∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF3C。〔20234〕如图，在矩形ABCDAB＝2，BC＝3，点E、F、G、HABCD的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】101013A． B．13 C．2 D．2101013【答案】D。【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相像三角形的判定和性质。322213【分析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∴ACBD322213又∵点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥HG，EH∥FG，EFH分别在矩形ABCDEF∥HGEH∥FG。1313∴CG=ｘ，CF=3，∴FG= 。∴四边形EFGH的周长是2 。应选D。13132 23 3对于一般状况，可设CG=ｘ，则CF=

ｘ，DG=2－ｘ，BF=3－ｘ。2 2FG CG 13由△CFG∽△CBD得 ，即13

xFG x。13BD CD13EF BF

2 21313ｘ331313ｘ由△BEF∽△BAC得

2 EF x。13AC BC 3 21313∴四边形EFGH2〔EF＋EG〕213

。应选D。〔2023福建厦门3分〕如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，假设∠BAC＝50°，则∠ABC等于【 】A．40° B．50° C．80°【答案】C。

D．100°【考点】菱形的性质，平行的性质。1【分析】∵四边形ABCD，∴∠BAC=2∠BAD，CB∥AD。∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°。∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°。∴∠ABC=180°－100°=80°。应选C。〔2023湖北宜昌3分〕如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于【 】A．20 B．15 C．10 D．5【答案】B。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。1419956【分析】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠B=60°，BA=BC。∴△ABC∴△ABC=3AB=15。应选B。〔2023湖北恩施3分〕如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影局部的面积是【 】32B．2 C．3 D．32【答案】A。【分析】如图，设BF、CE相交于点M，∵菱形ABCD和菱形ECGF23，CM BC CM 2∴△BCM∽△BGF，∴GF

BG

，即3

2+3。CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。33∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×2 ，3333333菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×2 2 。33 331 133 33∴阴影局部面积=S +S =×0.8×△BDM △DFM 2

+2×0.8×2

。应选A。〔2023湖北黄冈3分〕假设顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD肯定是【 】矩形 B.菱形 C.对角线相互垂直的四边形 D.对角线相等的四边形【答案】C。【考点】矩形的性质，三角形中位线定理。【分析】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，依据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG。∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD。应选C。〔20233〕如图，在菱形ABCD，∠A＝60º，E、F分别是AB、ADDE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【 】①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S

=ADE

AB2．343个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C。【考点】30数值。【分析】∵在菱形ABCD中，∠A＝60º，∴∠BCD＝60º，∠ADC＝120º，AB=AD。∴△ABD又∵EAB，∴∠ADE＝∠BDE＝30º。∴∠CDG＝90º。同理，∠CBG＝90º。在四边形BCDG中，∠CDG＋∠CBG＋∠BCD＋∠BGD=3600，∴∠BGD＝120º。故结论①正确。1HL△BCG≌△DCG，∴∠BCG＝∠DCG＝30º。∴BG=DG=2CG。∴BG＋DG＝CG。故结论②正确。在△BDG中，BG＋DG＞BD，即CG＞BD，∴△BDF≌△CGB3∵DE=ADsin∠A=ABsin60º=231 1

AB，∴S = ABDE= ABADE 2 2

AB=323

AB2。故结论④正确。343综上所述，正确的结论有①②④三个。应选C。〔2023湖北襄阳3分如图，ABCD是正方形是BC〔除端点外的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．以下结论不肯定成立的是【 】△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG【答案】D。【考点】正方形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等、相像三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理。【分析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AD∥BC，∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG。∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE。∴△AED≌△BFAAA。故结论A正确。∴DE=AF，AE=BF，∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故结论B∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BGF。∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠GFB=90°。∴△BGF∽△DAE。故结论CAB AF由△ABF∽△AGB得 ，即AB2AFAG。AG ABAF2AB2BG2，FG2BG2BF2。∴DEBG2AFBG2AF2BG22AFBGAB2BF2BG22AFBGAB2〔BG2BF2AFBGAFAGFG22AFBGFG2AAG2BG〕。AG2BG0〔只有当∠BAG=300时才相等，由于G，∠BAG=300不肯定，DEBG2不肯定等于FG2DE﹣BG=FGDD。〔2023湖南长沙3分〕以下四边形中，两条对角线肯定不相等的是【 】A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形【答案】D。【考点】正方形、矩形、等腰梯形和直角梯形的性质【分析】依据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线肯定相等，只有直角梯形的对角线肯定不相等。应选D。〔20233〕：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DCBC于点E，AD=6cm，则OE的长为【 】A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，CD=AD=6cm，1∵OE∥DC，∴OE△BCD∴OE=2CD=3cm。应选C。〔2023湖南张家界3分〕顺次连接矩形四边中点所得的四边形肯定是【 】正方形【答案】C。

矩形 C．菱形 D．等腰梯形【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】如图，连接AC．BD，1在△ABD，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=2BD。1 1 1FG=2BD，HG=2AC，EF=2AC。又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE。∴四边形EFGHC。〔2023四川成都3分〕如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法．的是【 】A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OCDAOAOC【答案】B。【考点】菱形的性质。【分析】依据菱形的性质作答：A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；B、菱形的对角线不肯定相等，故本选项错误；C、菱形的对角线肯定垂直，AC⊥BD，故本选项正确；D、菱形的对角线相互平分，OA=OC，故本选项正确。B。〔20233〕如图，矩形ABCDECD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F，连接BD．DF，则图中全等的直角三角形共有【】A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】B。【考点】矩形的性质，直角三角形全等的判定。【分析】依据矩形的性质和直角三角形全等的判定，图中全等的直角三角形有：△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对。应选B。〔2023四川泸州2分〕如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，假设AC=6，BD=4，则菱形的周长是【 】A、24【答案】C。

B、16 C、4

D、21313【考点】菱形的性质，勾股定理。13131 1322213∵四边形ABCDAC=BD=∴AC⊥BDOA=2AC=3OB=2BD=2322213OA2OB2OA2OB2

。13∴菱形的周长是：4AB=4 。应选C。13〔20232ABCDEBCAEEEF⊥AEDC于点F，连接AF。设ABk，以下结论：AD(1)△ABE∽△ECF，(2)AE平分∠BAF，(3)当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的选项是【 】A、(1)(2)(3)【答案】C。

B、(1)(3) C、(1)(2) D、(2)(3)【分析】〔1〕∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°。∴∠BAE+∠AEB=90°。∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°。∴∠BAE=∠FEC。∴△ABE∽△ECF。故1〕正确。

EC EF∵△ABE∽△ECF，∴AB

AE.BE EF∵E是BC，∴BE=ECABBE

AE。Rt△ABE，tan∠BAE=Rt△AEF，tan∠EAF=

AB，EFAE，∴tan∠BAE=tan∠EAF。∴∠BAE=∠EAF。∴AE∠BAF。故〔2〕正确。AB∵当k=1时，即AD1,∴AB=AD。∴四边形ABCD∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD。AB AE BC 1∵△ABE∽△ECF，∴EC1 3

EF

EC2。∴CF=4CD。∴DF=4CD。∴AB：AD=1，BE：DF=2：3.∴△ABE△ADF〔3〕错误。C。〔20233〕ABCDAC、BDO，AB=5，AC=6，过DAC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为【 】A、22 B、24 C、48 D、44【答案】B。【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形。∴AC=DE=6。AC2在Rt△BCO中，BOAB2AO2

=4，∴BD=8。2 又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴DE2BD2BE2。∴△BDE

S BDE

12DEBD24。应选B。〔2023辽宁大连3分〕如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为【 】A.20 B.24 C.28 D.40【答案】A。【考点】菱形的性质，勾股定理。【分析】AC与BD相交于点O，由AC＝8，BD＝6AO=4，BO=3，∠AOB=900。Rt△AOBAB=5。依据菱形四边相等的性质，得AB=BC=CD=DA=5。5×4=20。应选A。〔20233〕如图，菱形ABCD24cm，对角线AC、BD相交于OE是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【 】3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm【答案】A。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。【分析】∵菱形ABCD24cm，∴边长AB=24÷4=6cm。∵对角线AC、BD相交于O，∴BO=DO。1 1又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线。∴OE=2AB=2×6=3cm。应选。〔20233〕ABCD4E、FAB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.以下结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE， ③tan∠OCD=4 ，④S S

中，正确的有【 】

3 ODC

四边形BEOF个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，反证法，线段垂直平分线的性质，三角形边角关系，锐角三角函数定义。【分析】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°。∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCFBE=C，∴△EBC≌△FCDSA。∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。∴∠DOC=90°。故①正确。如图，假设OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE。∵CD=ADD〔冲突，故②错误。∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。∴tan∠OCD=tan∠DFC=DC=4。故③正确。FC 3∵△EBC≌△FCD，∴S =S 。△EBC △FCD∴S －S =S －S－，即S =S 。故④正确。应选C。△EBC △FOC △FCD △ODC 四边形BEOF〔20233〕如图，在正方形ABCDA△AEF，交BCE，DCF；AAEEF。假设△AEF2，则阴影局部2的面积约是【 】2〔参考数据：

31.732，π3.14〕A.0.64 B.1.64 C.1.68 D.0.36【答案】A。【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。【分析】S阴影局部

SAEF

SCEF

S扇形AEF

。因此，由，依据正方形、等边3三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，高为 ；Rt△AEF的两直角边长为32；扇形AEF2600。2S S S S

=12

1 6022= 3+120.64∴阴影局部

AEF

CEF

扇形AEF 2

2

360 3 。322A。322〔2023贵州黔南4分〕如图，四边形ABCD的对角线相互平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是【 】A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】D。【考点】矩形的判定。【分析】四边形ABCD的对角线相互平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或一个角是直角即可，即D正确。而A、B两选项为平行四边形本身具有“对边相等”的性质，CABCDD确。应选D。〔20233〕如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【】A、14 B、16 C、20 D、28【答案】D。【考点】平移的性质，勾股定理。AC2BCAC2BC2

102810282AD，全部下边平移至BC，全部左边平移至AB，全部右边平移至CD，∴五个小矩形的周长之和=2〔AB+CD〕=2×〔6+8〕=28。应选D。〔2023山东滨州3分菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比【 】A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1【答案】C。【考点】30度角的直角三角形的性质。2cm，从而可得到高所对的角30°，150°，5：1。应选C。〔2023山东日照3分〕在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，假设EC=2BE，BFFD

的值是【 】1 1 1 12

3

4

5【答案】B。【考点】菱形的性质，相像三角形的判定和性质。【分析】如图，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，BF BE∴△BEF∽△DAF，∴FDAD。又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE。BF BE 1FDAD3。应选B。32.〔2023山东泰安3分〕如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为【 】A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8【答案】C。【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】∵EO是AC，∴AE=CE。CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣xRt△CDECE2=CD2+ED2x2=22+〔4－x〕2，解得x=2.5，即CE2.5。C。〔2023山东威海3分〕如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。添加一个条件，仍无法推断四边形AECF为菱形的是【 】A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=600 D.AC∠EAF【答案】C。【考点】平行四边形的判定和性质，平行的判定和性质，角平分线的定义，菱形的判定。【分析】依据菱形的判定逐一作出推断：由在ABCDAE，CF∠BAD∠BCD行的判定和性质可推断四边形AECF添加AE=AF，可依据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF是菱形。添加EF⊥AC，可依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF添加∠B=600，不能判定四边形AECF添加AC是∠EAF的平分线，依据角平分线的定义和平行的性质，可得出∠EAC=∠ECA，从而依据等腰三角形等角对等边的判定得AE=CE。因此，可依据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECFC。〔20233〕ABCDAD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC＝9，以A中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于【 】A．10【答案】A。

B．11 C．12 D．13【分析】如图，过A【分析】如图，过AAN⊥BCN，过EEM⊥AD，交DA延长线于M，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠C＝∠ADC＝∠ANC＝90°。∴四边形ANCD是矩形。∴∠DAN＝90°＝∠ANB＝∠MAN，AD＝NC＝5，AN＝CD。∴BN＝9－5＝4。∵∠M＝∠EAB＝∠MAN＝∠ANB=90°，∴∠EAM＋∠BAM＝90°，∠MAB＋∠NAB＝90°。∴∠EAM＝∠NAB，∵在△EAM△BNA，∠M＝∠ANB；∠EAM＝∠BAN；AE＝AB，∴△EAM≌△BNAAA。∴EMBN4。∴△ADE∴△ADE×AD×EM＝×5×4＝10。应选A。112 2〔20233〕AB能得到四边形ABCD是菱形的依据是【 】一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线相互垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B。【考点】菱形的判定，作图〔简单作图。【分析】ABCD的边AD=BC=CD=AB，依据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCDB。〔2023内蒙古包头3分在矩形ABCDO是BC∠AOD=90ABCD的周长为20cm，则AB的长为【 】5 10cm B.2cm C.2cm D.3cm【答案】D。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定。【分析】∵点OBCOB=0C。∵四边形ABCDAB=DC，∠B=∠C=900。ABDC〔SASAOBDO。∵∠AOD=900，∴∠AOB=∠DOC=450。∴AB=OB。10ABCD20cm，∴AB=3cmD。37.〔20233〕如图，菱形ABCDAB=AC，点E、F分别为边AB、BC且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则以下结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH，④AD2=OD·DH中，正确的选项是【 ．A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④【答案】D。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相像三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。【分析】∵菱形ABCDAB=AC，∴△ABC∴∠B=∠EAC=600。AE=B，∴△ABF≌△CAESA。结论①正确。∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。∴∠AHC=1800－〔∠ACE＋∠CAF〕=1800－〔∠BAF＋∠CAF〕=1800－∠BAC=1800－600=1200。结论②正确。如图，在HD上截取HG=AH。∵菱形ABCDAB=AC，∴△ADC∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC=1200＋600=1800。∴A，H，C，D∴∠AHD=∠ACD=600。∴△AHG∴AH=AG，∠GAH=600。∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAGSA。∴CH=DG。∴AH+CH=HG+DG=DH。结论③正确。AD HD∵∠AHD=∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。∴OD AD。∴AD2=OD·DH。结论④正确。综上所述，正确的选项是①②③④。应选D。二、填空题〔2023天津市3分〕如图，正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ▲ ．3【答案】3

1。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】连接AE，BE，DF，CF。∵以顶点A、B1E，AB=1，∴AB=AE=BE，∴△AEB3∴边AB上的高线为：2 。33同理：CD边上的高线为：2 。3EF交ABN，并反向延长EFDCM，则E、F、M，N∵AE=BE，∴点E在AB同理：点FDC3∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC。∴MN⊥AB，MN⊥DC。由正方形的对称性质，知EM=FN。33∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM=23

，解得EF=

1。〔20235〕如图，P是矩形ABCDPA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是SSSS1 2 3 4①S+S=S+S ②S+S=S+S1 2 3 4 2 4 1 3③假设S=2S，则S=2S ④假设S=S，则P点在矩形的对角线上3 1 4 2 1 2其中正确的结论的序号是 ▲ 〔把全部正确结论的序号都填在横线上〕.【答案】②④。【考点】矩形的性质，相像【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，∵△APD以AD，△PBC以BC∴此时两三角形的高的和为AB，1∴S+S=S ；1 3 2 矩形ABCD1同理可得出S+S=S 。2 4 2 矩形ABCD∴②S+SSSS+S=S+S2 4 1 3 1 2 3 4S=2S△APD△PBCS2S3 1 4 21 1如图，假设S=S，则×PF×AD=×PE×AB，1 2 2 2∴△APD△PBAPF：PE=AB：AD。∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。∴PF：CD=PE：BC=AP：AC，PF：CD=AF：AD=AP：AC。∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P故结论④正确。综上所述，结论②和④正确。〔20233〕6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是▲ .【答案】6。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD。∵∠A=60°，∴△ABD∴BD=AB=6。6。〔20233〕如图，Rt△ABC，C=90o，以斜边ABABDE，2且正方形对角线交于点DOAC=OC=62

则另始终角边BC的长为 ▲ ．【答案】7。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过OOF垂直于BC，再过OOF⊥BC，过AAM⊥OF，∵四边形ABDE，∴∠AOB=90°，OA=OB。∴∠AOM+∠BOF=90°。又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。在△AOM△BOF∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF，OA=OB，∴△AOM≌△BOFAAAM=O，OM=F。又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。2∴OF=CF。∴△OCF22∵OC=62

∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。〔2023广东肇庆3分〕菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为▲ ．【答案】20。【考点】菱形的性质，勾股定理。【分析】形的边长，再依据菱形的四条边相等求出周长即可1 1如图，依据题意得AO=2×8=4，BO=2×6=3，∵四边形ABCD，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD。∴△AOBAO2BO2169ABAO2BO2169∴此菱形的周长为：5×4=20。〔2023江苏淮安3分菱形ABCD中假设对角线长AC＝8cm，BD=6cm，则边长AB＝ ▲cm。【答案】5。【考点】菱形的性质，勾股定理。AO＝4cm，BP=3cm；AO2BO242+32在Rt△ABO中，依据勾股定理，得ABAO2BO242+32〔20233〕E，F，G，H分别是四边形ABCDAB，BC，CD，DAAC⊥BDAC≠BDEFGH▲.形”〕【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】如图，连接AC，BD。∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA∴依据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。∴四边形EFGH且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。∴四边形EFGH〔2023江苏徐州2分如图，菱形ABCD的边长为2c，∠A=60。D是以点A为圆心、AB长为半径的弧，D是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影局部的面积为 ▲cm2。3【答案】 。3【分析】如图，连接BD。∵菱形ABCD∠A=600，∴△ABD△BCD∴BD与D围成的弓形面积等于CD与D围成的弓形面积。∴阴影局部的面积等于△BCD3由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600= 。333133∴△BCD的面积等于22 3= 〔cm，即阴影局部的面积等

cm2。〔2023福建宁德3分〕如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6cm，则AB＝ ▲ cm．【答案】12。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。1【分析】∵点E、F分别是BD、CD，∴EF=2BC=6。∴BC=12。∵四边形ABCD，∴AB=BC。∴AB=12。〔2023湖北天门仙桃潜江江汉油田3分如图线段AC=n+〔其中n为正整数点B在线段AC上在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCE连接AMMEA得到△AME当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；„；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1= ▲ ．【答案】

2n12 。【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。【分析】连接BE，∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM。∴△AME△AMB∴△AME=△AMBAB=n△AMESn

1的面积为Sn

n12。2n≥2Sn

Sn1

1n21n12=1n+n1nn+1=2n1。2 2 2 2〔20233〕ABCDAB=2，AD=4，ACEFAD于点E、交BC于点F，则EF= ▲ ．5【答案】 。5线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相像三角形的判定和性质，勾股定理【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。∵四边形ABCD∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。AO OE∴△AOE∽△COFOC

OF。∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。5CE=2。5Rt△ABCAB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=25

，∴CO= 。5Rt△CEOCO=5

5555，CE=，由勾股定理得：EO= 。∴EF=2EO= 。5552 2〔2023湖南郴州3分〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则这个菱形的边长为 ▲ ．4〔20233〕ABCD20cm，且tan∠ABD=3，则菱形ABCD的面积为 ▲ cm2．【答案】24。【考点】菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】ACBD于点OBO=3x，AO=4x，从而在Rt△ABOAB20cmx出答案：AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO。4∵tan∠ABD=3，∴可设BO=3x，AO=4x，则AB=5x。又∵菱形ABCD20，∴4×5x=20，解得：x=1。∴AO=4，BO=3。∴AC=2AO=8，BD=2BO=6。1∴菱形ABCD的面积为2AC×BD=24c。〔20233ABCD1AC．BD，CE∠ACDBD于点E，则DE= ▲ ．2【答案】2

1。【考点】正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理。【分析】过EEF⊥DCF，∵四边形ABCD，∴AC⊥BD。∵CE∠ACDBD于点E，∴EO=EF。∵正方形ABCD1，∴AC=

。∴CO=1AC= 。222 22222∴CF=CO=2。∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣2。22EF2+DF22DE= EF2+DF22〔2023四川绵阳4分〕如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影局部的面积 ▲ 〔结果保存两位有效数字，参考数据≈3.14。【答案】1.7。【考点】正方形的性质，有效数字。【分析】由图形可知，四个半圆的面积=正方形的面积－空白局部的面积〔空白局部被重叠1〕，=2的面积，则阴影局部的面积=正方形的面积－空白局部的面积，计算即可得解：空白局部的面积=2×π×12－2×2=2π－4，阴影局部的面积=2×2－〔2π－4〕=8－2π≈8－2×3.14=1.72≈1.7。〔2023四川凉山5分〕如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ▲ 。【答案】36。【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EGFH相交于点O。∵E、H分别是AB、DA，∴EH△ABD1∴EH=2

BD=3。1 1同理可得EF=GH=2

AC=3，FG=2

BD=3。∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。Rt△OEHOE2+OH2=EH2=9。44OE2+4OH2=9×4=36。∴〔2OE〕2+〔2OH〕2=36，即EG2+FH2=36。为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 ▲ _cm2.3【答案】16 。3【考点】定义，特别角的三角函数值。【分析】如图，连接BD，依据菱形四边相等和对角相等的性质，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，∴△ABD△BCD由DE⊥AB，DF⊥BC，依据等边三角形三线合一的性质，AE=BE=BF=CF。∴△ADE、△BDE、△BDF△CDF全等。∴四边形BEDF=△ABD3由∠A=60°，菱形ABCD8cm，得DE=43313

cm。∴四边形BEDF=△ABD284

16 〔cm。3〔2023贵州毕节5分〕我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫．。现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ▲ 。3【答案】5cm。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质。∵E、F、G、H1 1∴EF∥GH∥DB，EF=GH=2DB，EH∥FG∥AC，EH=FG=2AC。又∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC。∴EF⊥EH。∴四边形EFGHEH2EF2∵EH=1BD=3cm，EF=1AC=4cmEH2EF22 2

5cm。〔2023贵州铜仁4分〕以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ▲ ．2【答案】 。2【考点】判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理。【分析】如图，∵四边形CDEF，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD。∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°。∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB。∵在△COA△DOB，∠OCA=∠ODB，OC=OD，∠COA=∠DOB，∴△COA≌△DOBAS。∴OA=OB。∵∠AOB=90°，∴△AOBOA2OB2由勾股定理得：AB OA2OB2∴要使AB最小，只要OA依据垂线段最短的性质，当OA⊥CD，OA1∵四边形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF。∴CA=DA，∴OA=2CF=1。2∴AB= 。2〔20233〕如图，CDBE，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=▲ °．【答案】70。【考点】菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质。【分析】∵CD与BE相互垂直平分，∴四边形BDEC∴DB=DE。1800700∵∠BDE=70°，∴∠ABD= 2 =55°。∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°。依据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB∴∠BAC=∠BAD=35°。∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°。〔2023广西玉林、防城港3分〕如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 ▲ .【答案】30°。【考点】矩形的性质，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值，圆周角定理。【分析】连接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC。∵四边形OABC，∴∠BCO=90°。∴cosBOCOC1OB 2

。∴∠BOC=60°。1∴∠NMB=2∠BOC=30°。〔2023江西省3分〕如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ▲ ．【答案】15°165°。【考点】正方形和正三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。正三角形AEF求解：①当正三角形AEF在正方形ABCD1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A∴AB=AD，AE=AF。BE=DF△ABE△ADFAB=AD，BE=DF，AE=AF，∴△ABE≌△ADFSS。∴∠BAE=∠FAD。∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。3，

②当正三角形AEF在正方形ABCD18002，同上可得△ABE≌△ADFSS。∴∠BAE=∠FAD。∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE。∵900＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105°。∴∠BAE=∠FAD=165°。③当正三角形AEFABCD1800时，同上可得△ABE≌△ADFSS。∴∠BAE=∠FAD。∵∠EAF=60°，∠BAE=90°，∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，这是不行能的。∴此时不存在BE=DF综上所述，在旋转过程中，当BE=DF，∠BAE15°165°。〔2023内蒙古赤峰3分〕如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是DC．DB的中点，假设EF=6，则菱形ABCD的周长是 ▲ ．【答案】48。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。【分析】∵AC是菱形ABCDE、F分别是DC．DB1∴EF△BCD，∴EF=2BC=6。∴BC=12。24.〔2023324.〔20233〕如下图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点EDE=8，BF=5，则EF▲.【答案】13。【分析】∵ABCD是正方形【分析】∵ABCD是正方形〔〕，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°〔正方形的性质〕。又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°〔直角三角形两个锐角互余〕，∴∠FBA=∠EAD〔等量代换〕。∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，Rt△AFBRt△AED，∵∠AFB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD，AB=DA，∴△AFB≌△AED〔AAS〕。∴AF=DE=8，BF=AE=5〔全等三角形的对应边相等〕。∴EF=AF＋AE=DE＋BF=8＋5=13。25.〔2023黑龙江哈尔滨3分〕如图。四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点假设BE=1，AG=4，则AB的长为 ▲15【答案】 。15【考点】矩形的性质，平行的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠CED=∠ADE。∵四边形ABCD，∴∠BAD=900。1∵点GDF，∴AG=2DF=DG。∴∠CGE=2∠ADE=2∠CED。又∵∠AED=2∠CED，∴∠CGE=∠AED。∴AE=AG。又∵BE=1，AG=4，∴AE=4。AE2BE2421215AE2BE2421215三、解答题1.〔202312ABCDEF分别在边BCCD，∠BAF=∠DAE，AEBDG．求证：BE=DF；DF ADFCDF时，求证：四边形BEFG1〕∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。∴△BAE≌△DAFAS。∴BE=DF。AD DG〔2〕∵四边形ABCD，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBGBEDF AD DF AD DG

BG。又∵BE=DFFCDF

，∴FC

BEBG

。∴GF∥BC。∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。又∵BE=DF，∴BE=GF。∴四边形BEFG等腰三角形的判定，平行四边形的判定。〔1〕由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF△AFD全等后即可证得结论。AD DG DF AD〔2〕由AD∥BC△ADG∽△EBG，BEDF AD DG

BGFC

DFBE=DFFC

BE

BG。从而依据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，依据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF，证得BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。〔202310〕：如图，在菱形ABCD，F为边BCDF与对角线AC交于点M，过MME⊥CDE，∠1=∠2．假设CE=1，求BC求证：AM=DF+ME．〕∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。∵ME⊥CD，∴CD=2CE。∵CE=1，∴CD=2。∴BC=CD=2。1〔2〕证明：∵F为边BC，∴BF=CF=2BC。∴CF=CE。∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。在△CEM△CFM，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，∴△CEM≌△CFMSA，∴ME=MFABDF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2。∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。∴AM=MG。在△CDF△BGF∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFDBF=C，∴△CDF≌△BGFAAS。∴GF=DF。由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。〔1〕依据菱形的对边平行可得AB∥D，再依据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，依据等角对等边的性质可得CM=DM，再依据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CDBC〔2〕先利用SAS△CEM△CFMME=MF，ABDFG，然后证明∠1=∠G，依据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明△CDF△BGFGF=DF，最终结合图形GM=GF+MF〔20238〕如图，△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；CCE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．求证：四边形ADCE是菱形；当∠ACB=90°，BC=6，△ADC18时，求四边形ADCE〔1〕DE是线段AC∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。又∵CE∥AB，∴∠ADO=∠CEO。∴△AOD≌△COEAA。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。〔2〕解：当∠ACB=90°时，由〔1〕知AC⊥DE，∴OD∥BC。OD AO 1∴△ADO∽△ABC。∴又∵BC=6，∴OD=3。

。CB AC 2又∵△ADC18，∴AD+AO=9，AD=9﹣AO。∴S

AD2AD2AO29AO2AO2 4

3，解得AO=4 3424。ADCE

ADO 2 2【考点】作图〔简单作图〕，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相像三角形的判定和性质，勾股定理。〔1〕DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE〔2〕利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相像三角形的性质和勾股定理得出ODAOADCE〔20238〕如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长ABE，使BE=AB，连接CE．求证：BD=EC；假设∠E=50°，求∠BAO〔1〕证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD。又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。∴BD=EC。〔2〕解：∵四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。又∵四边形ABCD，∴ACBD。∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°。【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。从而证明四边形BECD〔2〕依据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再依据菱形的对角线相互垂直可得AC⊥BD，然后依据直角三角形两锐角互余计算即可得解。〔20237〕如图，在四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点OACAD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。【答案】证明：连接CE。∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFOAAS。∴AE=CF。∴四边形AECF又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。∴AE=AF。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由，依据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。依据菱形四边相等的性质和AE=AF。〔202310〕如图，菱形ABCD，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．1，假设EBC，∠AEF＝60º，求证：BE＝DF；2，假设∠EAF＝60º，求证：△AEF1〕连接AC。∵菱形ABCD，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。∴△ABC∵E是BC，∴AE⊥BC。∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。∴EC=CF。∴BE=DF。〔2〕连接AC。∵四边形ABCD，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。∴△ABC∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。∴∠AEB=∠AFC。在△ABE△AFC，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，∴△ABE≌△ACFAA。∴AE=AF。∵∠EAF=60°，∴△AEF

，AB=AC，【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理全等三角形的判定和性质。〔1〕ACABCD，∠B=60°，依据菱形的性质，易得△ABC角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。〔2〕连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF〔2023广东河源9〕如图，△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C1以大于2AC的长为半径在AC的两边作弧，交于点M、N；②连接MN，分别交AB、ACD、O；③过点CCE∥ABMN于点E，连接AE、CD．求证：四边形ADEC是菱形；当∠ACB＝90º，BC＝6，△ACD18时，求四边形ADEC〔1〕DE是线段AC∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。又∵CE∥AB，∴∠ADO=∠CEO。∴△AOD≌△COEAA。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。〔2〕解：当∠ACB=90°时，由〔1〕知AC⊥DE，∴OD∥BC。OD AO 1∴△ADO∽△ABCCB又∵BC=6，∴OD=3。

AC2。又∵△ADC18，∴AD+AO=9，AD=9﹣AO。∴OD=∴S

4S

99AO2AO2AD2AO2 4

3，解得AO=4 3424。ADCE

ADO 2 2【考点】作图〔简单作图〕，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相像三角形的判定和性质，勾股定理。〔1〕DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE〔2〕利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相像三角形的性质和勾股定理得出ODAOADCE〔20238〕如图，在△ABC，AD⊥BCD，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC。∴AE=AF。∴平行四边形AEDF【考点】三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定。【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。〔2023湖北黄冈7分〕如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO，∠AOD=∠DOF，OE=OF，∴△AOE≌△DOFSA。∴∠OAE=∠ODF。∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】由DE=CF，依据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。〔20239〕如图，在矩形ABCDM、N分别是AD．BCP、QBM、DN求证：△MBA≌△NDC；四边形MPNQ是什么样的特别四边形？请说明理由．〕证明：∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CDAD=B，∠A=∠C=90°。1 1∵在矩形ABCDM、N分别是AD．BC，∴AM=2AD，CN=2BC。∴AM=CN。在△MAB△NDC，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN∴△MAB≌△NDCSA。〔2〕四边形MPNQAN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM。∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN。∵P、Q分别是BM、DN，∴PM=NQ。∵DM=BNDQ=B∠MDQ=∠NBP∴△MQD≌△NP〔SA∴MQ=PNxkb1.∴四边形MPNQ1 1∵M是ABQDN，∴MQ=2AN，∴MQ=2BM。1又∵MP=2BM，∴MP=MQ。∴四边形MQNP【考点】定。〔1〕依据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC。〔2〕四边形MPNQ是菱形，连接AN，由〔1〕可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPBMQ=PN，从而证明四边形MPNQ位线的性质可得：MP=MQ，从而证明四边形MQNP11〔2023四川内江9分ABCDE是BDGBC、AEAGCDF。求证：四边形ABCD是正方形；当AE=2EF时，推断FG与EF〔1〕证明：∵∠CED△BCE，∠AED△ABE∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。∵四边形ABCD，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD△BCD∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD〔2〕解：当AE=2EFFG=3EF。证明如下：∵四边形ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2BG=2AD。∵BC=AD，∴CG=AD。∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。【考点】矩形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定，相像三角形的判定和性质。〔1〕由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD△ABD△BCDABCD是正方形。〔2〕由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相像三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF。AB=6，AD=12EADAE=8，EF⊥BECDF．求证：△ABE∽△DEF；求EF〔202310〕如图，在正方形ABCDAEF的顶点E、FBCCD求证：CE=CF；假设等边三角形AEF2，求正方形ABCD〔1〕ABCD，∴AB=AD。∵△AEF，∴AE=AF。在Rt△ABE和Rt△ADF∵AB=ADAE=A∴Rt△ABE≌Rt△AFH。∴CE=CF。〔2〕解：连接AC，交EFG∵△AEF，△ECF，∴AC⊥EF。212在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=2×2=1，∴EC= 。2设BE=x，则AB=BC=x+ ，2226 226值舍去。

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即〔x+ 〕2+x2=4，解得x= 2 〔负2+ 6∴AB= 2+ 6+ 2= 。2+ 62 26∴正方形ABCD的周长为4AB=2〔2+ 。6【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值，勾股定理。〔1〕依据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF。〔2〕连接AC，交EFG△AEF，△ECF是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出AB的值，从而求出正方形的周长。〔202312〕1，5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2求EC：CF延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点〔图2，试推断AE与EP并说明理由；2ABM，DMEP证明；假设不存在，请说明理由。〕∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。∵四边形ABCD，∴∠B=∠C=90°。∴∠BAE+∠BEA=90°。∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。∴EC：CF=AB：BE=5：2。〔2〕在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。∵CP，∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。∴∠AME=∠ECP。∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF。∴△AME≌△PCEAS。∴AE=EP。〔3〕DDM⊥AEAB于点MMDMEP∵DM⊥AE，∴∠ADM=90°－∠DAE。∵四边形ABCD，∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°。∴∠BAE=90°－∠DAE。∴∠BAE=∠ADM。∴△BAE≌△ADMAS。∴AD=DM由〔2〕AE=EP，得DM=EP。双∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥EP。∴四边形DMEP【考点】性质，平行的判定，平行四边形的判定。【分析〔1∠B=∠C=90°即可证得：△ABE∽△EFC，又由相像三角形的对应边成比例，即可求得EC：CFAB上取一点AM=EMEAS△AME≌△PCE，AE=E。过点DDM⊥AEAB于点M，此时M使得四边形DMEP由△BAE≌△ADM〔ASA〕AD=DM；另一方面由DM⊥AE，AE⊥EFDM∥EP。依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。15.〔202310〕如图1，在正方形ABCDEABFADDF＝BE．求证：CE＝CF；2，在正方形ABCDE是ABGADGCE＝45°，请你利用〔1〕的结论证明：GE＝BE＋GD．运用1〔2〕解答中所积存的阅历和学问，完成下题：如图ABCDA∥BBA＝90°A＝BCE是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD〕证明：在正方形ABCDBCD，B＝CD，B＝D，∴△CBCD〔SACECF。〔2〕证明：如图，延长ADF，使DF=BE．连接CF。由〔1〕知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF。∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°。又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECFC〔SAGEGF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。〔3〕如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形。∴AG＝BC。∠DCE＝45°，依据12〕EBE＋D。∴10=4+DG，即DG=6。AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，Rt△AED，∵DE2=AD2＋AE2102=〔x－6〕2＋〔x－4〕2。解这个方程，得：x=12x=－2〔舍去。∴AB=12。∴S梯形ABCD

1 1ADBAB 612121082 2∴梯形ABCD108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。〔〕由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDFSAS，即可得CE=C。〔2延长AD至FDF=BC1知△CBE≌△CDF又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，从而可得GE=BE+GD。〔3〕过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得ABABCD〔20237〕如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形。∵四边形ABCD，∴OC=OD。∴四边形OCED【考点】矩形的性质，菱形的判定。【分析】首先依据两对边相互平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再依据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。〔20237〕如图，点A．F、C．D在同始终线上，点B和点EAD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形，假设∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．〔1〕证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。∵在△ABC△DEF，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，∴△ABC≌DEFSAS。∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF。∴四边形BCEF〔2〕解：连接BE，交CFG，∵四边形BCEFBE⊥CFBCEF4242+32AB2AB2+BC2

5。∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC。BC CG∴

3 CG，即

CG9。AC BC 5 3 518∵FG=CG，∴FC=2CG=5，18 7∴AF=AC﹣FC=5﹣ 。5 57AF=5时，四边形BCEF【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相像三角形的判定和性质。即可判定四边形BCEF〔2〕由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相像三角形的对应边成比例，即可求得AF的值。〔20238〕ABCDAC、BDO，BE⊥ACE，DF⊥ACF，点O既是AC的中点，又是EF求证：△BOE≌△DOF；1假设OA＝2BD，则四边形ABCD〕证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°。OEF，∴OE=OF。又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOFASA。〔2〕四边形ABCD∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形。1 1∵OA=2BD，OA=2AC，∴BD=AC。∴平行四边形ABCD【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定。〔1〕依据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，OEFOE=OF，再加上对顶角∠DOF=∠BOE，可利用ASA△BOE≌△DOF。依据△BOE≌△DOF可得DO=BOAO=CO可得四边形ABCD形，再证明DB=AC，可依据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。〔20239ABCDEBCAEBF⊥AE，垂足为HCDFCG∥AE,交BFG.1〕

FC2AB2

=GF.GB1〕∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=900,∠CBG+∠BCG=900,∠BAH+∠ABH=900,∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG。又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCGAS。∴CG=BH。〔2〕∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=900，∴△CFG∽△BFC。FC GF∴BF

FCFC2=BF·GF。〔3〕∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB=900，∴