高中数学北师大版第二章平面向量3从速度的倍数到数乘向量 优质课奖

课时提升作业平面向量基本定理一、选择题(每小题3分,共18分)1.若O为平行四边形ABCD的中心,AB→=4e1,BC→=6e2,则3e2-2e1等于(A.AO→ B.BO→ C.CO→【解析】选B.由于AB→=4e1,BC→=6e2,3e2-2e1=12(6e2-4e1)=12(=12(BC→+BA→)=12.已知在△ABC中,点D在BC边上,且CD→=2DB→,CD→=rAB→+sAC→,则A.23 B.43 【解析】选D.因为CD→=AD→-DB→=AB→-AD所以CD→=AB→-DB=AB→-12CD所以32CD→=AB所以CD→=23AB又CD→=rAB→+sAC→,所以r=2所以r+s=0.3.已知e1=a+5b,e2=3a-2b,e3=-6a+4b,a与b不共线,其中不能作为基底的是()与e2 与e3与e3 +e2与e3【解析】选B.由于e3=-6a+4b=-2(3a-2b)QUOTE3a-2b=-2e2.故e2与e3共线,不能作为基底,A,C,D中的向量均不共线,能作为基底.是△ABC所在平面上的一点,满足PA→+PB→+2PC→=0,若△ABC△ABP的面积为() C.12 D.【解题指南】由向量加法的运算法则,设AB的中点是D,则PA→+PB→=2PD→=-2PC→,所以P为CD的中点,所以△PAB的面积与△ABC的面积之比即为AB上的高之比,也即为PD【解析】选C.设AB的中点是D,则PA→+PB→=2PD→=-2PC→,所以P为CD的中点,所以△PAB的面积为△ABC的面积的12,即5.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系为()A.不共线 B.共线C.相等 D.不能确定【解析】选+b=3e1-e2=12c,故a+b与c共线6.(2023·大庆高一检测)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC→=a,BD→=b,则AF→=14+12b 1312+14b 23【解题指南】根据两个三角形相似对应边成比例,得到DF与FC之比,作FG平行BD交AC于点G,使用已知向量表示出要求的向量,得到结果.【解析】选D.因为由题意可得△DEF∽△BEA,所以DEEB=DFAB=13,再由AB=CD可得DF所以DFFC=1作FG平行BD交AC于点G,所以FGDO=CGCO=所以GF→=23OD→=1因为AG→=AO→+OG→=AO→+1=23AC→=所以AF→=AG→+GF→=23a二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2023·北京高一检测)如图,向量BP→=14BA→,若OP→=xOA→+y【解析】因为BP→=14BA→,所以BO→+OP→=14(BO→+OA→),整理得OP→=14OA→-14OB→+答案:-18.(2023·四川高考)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB→+AD→=λAO→,则【解析】在平行四边形ABCD中,AB→+AD→=AC→,而AC→=2答案:29.(2023·宿州高一检测)已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.【解析】因为a与b共线,所以xe1+2e2与3e1+ye2对应项的系数成比例,即x3=2y,答案:6【举一反三】若将“b=3e1+ye2”改为“b=3e1+4e2”,其他条件不变,则x=.【解析】因为a与b共线,所以存在实数λ使得a=λb,即xe1+2e2=λ(3e1+4e2).所以x=3λ,2=4λ,所以答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,平面内有三个向量OA→,OB→,OC→,其中OA→与OB→的夹角为120°,OA→与OC→的夹角为30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23,若OC→【解析】如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC→=OD→+OE→,在直角△OCD中|OC→|=23,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|OD→|=4,|CD→|=2,故OD→=4OA→,OE→=211.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且BD→=13BC→,CE→=13CA→,AD与BE【解题指南】由A,D,R三点共线,可得CR→=λCD→+(1-λ)CA→=23λ由B,E,R三点共线,可得CR→=μCB→+(1-μ)CE→=μCB→+根据平面向量的基本定理,可构造关于λ和μ的方程组,进而求出λ,μ的值,进而根据向量减法的三角形法则,得到答案.【证明】由A,D,R三点共线,可得CR→=λCD→+(1-λ)CA→=23λ由B,E,R三点共线,可得CR→=μCB→+(1-μ)CE→=μCB→+所以23λ=μ,所以CR→=47CB所以AD→=CD→-CA→=2RD→=CD→-CR→=23CB→-47CB→一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2023·东营高一检测)设e1,e2是不共线向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数是()①e1和e1+e2; ②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1; ④e1+e2和e1-e2. 【解析】选C.不共线的两个非零向量才能作为基底,③中,因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以两向量共线,其他不共线,故选C.【变式训练】设O是平行四边形ABCD对角线的交点,下列向量组:①AD→与AB→;②DA→与BC→;③CA→与DC→;④OD【解析】①AD→与AB→不共线,②DA→=-BC→,DA→∥BC→,DA→与BC→共线,③CA→与DC→不共线,④OD→=-答案:①③2.(2023·重庆高一检测)如图,在矩形OABC中,点E,F分别在线段AB,BC上,且满足AB=3AE,BC=3CF,若OB→=λOE→+μOF→(λ,μ∈R),则λ+μ=A.83 B.C.53 【解析】选B.OB→=λOE→+μOF→=λOAλ+13μ又因为OB→=OA→+OC→,所以λ+13.(2023·泸州高一检测)△ABC中,若AD→=2DB→,CD→=13CA→+λCB→A.13 B.23 23【解析】选B.如图所示,因为CD→=CA→+AD→,AD→=23AB→,所以CD→=CA→+23(CB=13CA→因为CD→=13CA所以λ=234.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE→=AD→+μAB→,则μ的取值范围是A.[0,1] B.[0,3]C.0,12 【解题指南】过点C作CF⊥AB,垂足为F.在Rt△BCF中,∠B=30°.可得CF=1,BF=3.再利用已知AB=23,可得AF=3.由四边形AFCD是平行四边形,可得CD=AF=3=12AB.再利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出【解析】选C.如图所示,过点C作CF⊥AB,垂足为F.在Rt△BCF中,∠B=30°.所以CF=1,BF=3.因为AB=23,所以AF=3.由四边形AFCD是平行四边形,可得CD=AF=3=12因为AE→=AD→+DE→=AD所以DE→=μAB→,因为DE→∥DC→,所以0≤μ≤12二、填空题(每小题5分,共10分)5.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=.【解题指南】设e1+e2=ma+nb(m,n∈R),根据e1与e2不共线及平面向量基本定理求m,n.【解析】设e1+e2=ma+nb(m,n∈R),因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.因为e1与e2不共线,所以m-n=1,所以m=23,n=-1所以e1+e2=23a-13答案:23a-16.在△ABC中,点P是AB上的一点,且CP→=23CA→+13CB→,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又CM→【解题指南】先根据向量关系CP→=23CA→+13CB→得AP→=13AB→,即P是AB的一个三等分点,利用平面几何知识,过点Q作【解析】因为CP→=23CA所以CP→-CA→=-13所以AP→=13AB→,即P过点Q作PC的平行线交AB于D,因为Q是BC的中点,所以QD=12PC,且D是PB的中点,从而QD=2PM,所以所以CM=34CP,又CM→=tCP→,则答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设BA→=a,BC→=(1)用a,c表示向量AE→(2)若点F在AC上,且BF→=15a+45c,求【解析】(1)因为AC→=BC→-BA→=c所以AD→=12AC→=12所以AE→=12(AB→=12AB=-12a+14(c-=14c-34(2)设AF→=λAC所以BF→=BA→+AF→=BA=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc.又BF→=15a+45c,所以λ所以AF→=45AC→,所以AF【变式训练】设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使BM→=13BC→,CN→=13CA→,AP→=13AB→,若AB→=a,AC→=【解析】因为BM→=13BC→,所以由此可得,MN→=CN→-CM→=-1因为CB→=AB→-所以MN→=-13AC→-23(AB→-AC→)=13AC同理可得NP→=13a-23b,PM→=-MP→=-(MN→+NP→)【拓展提升】用基底表示向量的技巧用基底表示未知向量,一般有两种方法,一是直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解;二是利用“正难则反”原则引入参数或添加辅助线,采用方程思想借助向量运算确定参数.8.如图所示,点L,M,N分别为△A