高中数学人教A版4坐标系一平面直角坐标系 课时提升作业一

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业一平面直角坐标系一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2023·泰安高二检测)函数y=xsinx的图象关于()A.原点对称 轴对称=x对称 =-x对称【解析】选B.函数y=xsinx的定义域为R,且为偶函数,所以函数的图象关于y轴对称.2.如图曲线的方程为()A.|x|+y=1 +|y|=1C.|x|-|y|=1 D.|x|+|y|=1【解析】选D.因为曲线关于坐标轴对称,也关于原点对称,且过点(±1,0),(0,±1),故选D.【补偿训练】如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0|y|=0=|y|D.|x|-1=y【解析】选B.由图象知:一个x对应两个y值且y可以为0.3.(2023·成都高二检测)在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是()A.x=2x'y=13C.x=2x'y=3y' 【解析】选B.设P(x,y)为曲线y=3sin2x上任一点,经过伸缩变换x'=λx,(λ>0),将x=得1μy′=3sin2λx′,所以y′=3μsin由于y′=sinx′,所以3μ=1,2λ=1,二、填空题(每小题6分,共12分)4.将复数z=1+3i(i为虚数单位)对应的向量绕起点逆时针旋转30°所得复数为________.【解析】如图,在复平面内,复数z=1+3i(i为虚数单位)对应的向量OA→=(1,3)=2(cos60°,sin60°),将向量OA→=(1,答案:2i5.将曲线y2=4x按φ:x'=2x,2y'=y变换后得到曲线的焦点坐标为【解题指南】将变换后的方程化为标准方程y′2=2px′,焦点为p2【解析】将曲线y2=4x按φ:x'=2x,2y'=y变换后得到曲线方程为y′2=12x′答案:1三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.【解析】设点M(x,y)是曲线上的任意一点,根据题意,得它到x轴的距离是y,所以x2化简整理可得y=18x2因为曲线在x轴的上方,y>0,虽然原点O的坐标(0,0)满足方程y=18x2所以所求曲线方程为y=18x27.(2023·上饶高二检测)在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变成曲线x′2+y′2=1.【解析】设伸缩变换为x代入x′2+y′2=1,得(λx)2+(μy)2=1,即36λ2x2+36μ2y2=36,①将①式与4x2+9y2=36比较,得λ=13,μ=1故所求的伸缩变换为x【补偿训练】在平面直角坐标系中,求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换x'=(1)y2=2x.(2)x2+y2=1.【解析】(1)由伸缩变换x'=1将x=3x',y=2y'代入y4y′2=6x′,即y′2=32即伸缩变换之后的图形还是抛物线.(2)将x=3x',y=2y'代入x2+y得(3x′)2+(2y′)2=1,即x'21即伸缩变换后的图形为焦点在y轴上的椭圆.8.(2023·枣庄高二检测)据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心,正以每小时20km的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,从现在起多长时间后,该码头将受到热带风暴中心的影响,影响多长时间?(精确到【解题指南】建立平面直角坐标系,在三角形中利用余弦定理和不等式求解.【解析】以码头为原点O,正东方向为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置.在△AOB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°.根据余弦定理,得6002+400t2-2×20t×600×22≤4502整理,得4t2-1202t+1575≤0,解之,得302-152且302-152≈(h),Δt=30答:从现在起小时后,该码头将受到热带风暴中心的影响,影响15小时.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2023·蚌埠高二检测)如图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是()A.(cosθ,sinθ) B.(-cosθ,sinθ)C.(sinθ,cosθ) D.(-sinθ,cosθ)【解析】选A.设P(x,y),则cosθ=xrsinθ=yr即P点坐标为(cosθ,sinθ).2.(2023·德州高二检测)过点(-2,0)的直线l与曲线x2+y2=1有两个交点,则l的倾斜角的取值范围是()A.0,π4 C.0,π4∪3π4,π【解析】选D.如图,过点(-2,0)的直线l与圆x2+y2=1相切时,由几何性质,得两条切线的倾斜角分别为π4,3π4,结合图形,要满足直线与圆有两个交点,则l的倾斜角的取值范围是0二、填空题(每小题5分,共10分)3.将点(2023,3)向左平移2023个单位得到点P,点P(2,3)经过伸缩变换2x'=x,y'=3y后得到点的坐标为【解析】将点(2023,3)向左平移2023个单位得到点P(2,3),由伸缩变换公式2x'=x,y'=3y即变换后点的坐标为(1,9).答案:(1,9)4.将椭圆x225+y29=1按φ:【解析】设椭圆x225+y29=1上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),由φ:x'=15x,y'=13y得答案:π三、解答题(每小题10分,共20分)5.在平面直角坐标系xOy上,直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程.【解析】如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|.因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上,设M(x,y),①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|OM|=x2+y2,|x+2|=②当M在x的负半轴上时,y=0(x<-1),综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).答案:y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1)6.已知椭圆C:x216+y24=1,P,Q为椭圆C上的两点,O为原点,直线OP,OQ的斜率的乘积为-14,求|OP|【解析】方法一:参数法设直线OP的方程为y=kx(k≠0),代入椭圆C:x2+4y2-16=0,得x2=164所以OP2=x2+y2=由于直线OP,OQ的斜率的乘积为-14故直线OQ的方程为y=-14k用-14k代换k,得OQ2=16所以OP2+O=20(4方法二:伸缩变换法设P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆上,根据椭圆方程x216+y24得到圆O:x′2+y′2=4.由题意,得kOP·kOQ=y1y2因为