2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三(上)月考数学试卷(12月份)(附详解)

“”“函数(22“”“函数(2220212022年江苏省南京市楼区金陵中学三（上）月考数学卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，40.0分

已知集𝑙，，𝑁)

B.

C.

D.

已知

，则(3

5

B.

35

C.

3

D.

3𝑥,

是定义上的减函数”的C.

充分不必要条件充分必要条件

B.D.

必要不充分条件既不充分也不必要条件

已知直𝑙：与

交于，两点，为原点，且等

B.

C.

D.

已知数满

为数⋅𝑎)3为数

B.

C.

D.

在平行六面体

中是长的方形

，，

√

B.

C.

√

D.

设函数

若对于任意的都立则实数的值范围

[1,3]

B.,

C.

D.

,

设椭圆

：的、右两个焦点分别、，顶点，为椭圆上一22点，且

，椭圆的心率

B.

33

C.

D.

第1页，共页

二、多选题（本大题共3小题，15.0分

对于实，，，列结论正确的是

若则B.

若

，则C.D.

若，则|若，在面直角坐标中已知，，动满足||则

存在点，得

B.

面积的最大值为C.

对任意的点，有

>3D.

有且仅个点，eq\o\ac(△,)的积为已正方体的边长为棱的中点别为线段′，上动包括端，直线，与面′所成角分别，，

，则

存在点使得′

B.

C.

存在点，使得

5

D.

存在点，使得三、单空题（本大题共4小题，20.0分甲丙丁四人站成一排，其中甲不站排头和排尾，共种不同的站用字作答．若数满足，则最大值是．已，，在的面上eq\o\ac(△,)为边三角且其面积为平，，球的面积______若在正数得

𝑙中为自然对数的底数，则实数的取值范围为_．四、解答题（本大题共6小题，72.0分中角所的边分别√，𝑖

．第2页，共页

求如，为边上点，

𝜋

，eq\o\ac(△,)𝐴𝐵的积．已数{满，，

．设

，求证：数列

是等比数列；若列满足

，实数的值范围．一盒子里有个小相同的小球，其中个白球个黑球，现依次从盒中随机摸出一个球且不放回，直个都被摸出，表示个球被两个黑球隔成的段数例如出顺序为“黑白白白白白白黑”此摸的序为“白黑白白黑白白白”，则此．求个黑球连在一起被摸出的概率；求的布列和期望．第3页，共页

2𝑎如在面中eq\o\ac(△,)是长为的等边三角形，√，是中，平面平面．2𝑎求：面；是线上一点，若二面为直二面角，求的长．在面直角坐标中已知椭圆

：2

𝑏

22

𝑎>𝑏的离心率为，3两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积√．求圆的准方程；我称圆心在椭上为的圆是椭的“卫星圆”原点椭的“卫星圆”的两条切线交于两点

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．设(

𝑎

，，中为然数的底数𝑎．若对意的都成立，求实𝑎的取值范围；第4页，共页

设，当时有三个同的零点，求实的最小值．第5页，共页

3,解得，即”“函数3,解得，即”“函数是上的减函数”的必定义在1.【答案】【解析】解：因为集合𝑙𝑥{，，则𝑁{．故选：．先求出集合，后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】【解析】解：已知，3所以

sin𝛼cos1tan2

19

23

；5故选：．直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点角函数关系式的变换要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】【解析】解：若函𝑥,

是定义上的减函数，则

，且38383故“

(3𝑥3要不充分条件，故选：．本题先根据(是上减函数可知(在一个分段上均为减函数，在分界点也要满足递减的条件，从而判的取值范围，然后再作比较即可．第6页，共页

222222222，222222本题考查分222222222，2222224.【答案】【解析】解：联立

，22消掉，整理得

2

2𝑚𝑥2，设(,，由韦达定理，可，2

2

，所以𝑥

22

2

2又2，所以

2

2

2，又，，故选：联立

，222

2

22，𝑦,)，韦达定2可得，

，然后求出

，再根据⋅

得的．本题考查直线与圆的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．5.【答案】【解析】解：当为数时，由⋅𝑎

得

⋅(

，解得，当为数时，由

⋅𝑎

得

，即3𝑚

2

，

随增而增大随增而减小，且，由

2

得，又2不足题意，综上所述，的为，故选：．对分数和偶数两种情况讨论，结合结合指数函数和反比例函数的单调性，分别求出第7页，共页

，，，，，则本题主要考查了数列的递推关系，考查了指数函数和反比例函数的单调性，是中档题．6.【答案】【解析】解：在平行六面体

中，底面是长为的方形，侧，

，

，

，所以

，因此

，即．故选：由已知直接利用空间向量的加法运算及向量的模求解．本题考查了平行六面体性质、空间向量运算性质、数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】【解析证

442

423

，易知单递增，，则时，，数单递减；时，函数单调递增；函数在处最值，此；再证明(，即，由函数𝑖及的像易知，若对恒成立，只需处在图上的最小在处两个图像相切处取得，第8页，共页

22222121112函数𝑖的数为′当时，′22222121112综上，实数的值范围为，故选：．分别证，恒成立，先证，形为

42

，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围．再证，函数𝑖及图像易知，若使对于恒立，只需处在图上的最小值在，两个图像相切处取得，求得参数取值范围．本题考查利用导数研究函数的极值与最值查学生的逻辑思维能力和计算能力中档题．8.【答案】【解析圆

：的、22右两个焦点分别为、，顶点为，为圆上一点222，2

，可知：||2，|，设，得2𝑠222

，4，22224−5．可得2

，解得

4

，故选：．画出图形，利用已知条件，通过求解三角形推出椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，三角形的解法，是中档题．9.【答案】第9页，共页

222𝑥𝑦222333【解析】解：对于，令时则，222𝑥𝑦222333对于，

22

，又

2

，，B确，对于，，||，C正，对于，，，

，即

，故正．故选：．根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．【案【解析】解：动点满|+|，由椭圆的定义可知点的迹是长轴长的圆．动的程为，

，为点，2存在点，

，以确；2

面积的最大值为：2×√3，所以B正确；2对任意的点所以不确；

的小值为|2，

的方程为：𝑥2𝑦，与平行的直线方程为𝑥𝑦+𝑡，联立{

𝑥𝑦+𝑡2𝑦216𝑦

3264(3解得，时，2𝑦𝑥𝑦间的距离为

3

，此eq\o\ac(△,)𝑃的面积为：，时直线方𝑥2𝑦，2平行线之间的距离为：

，eq\o\ac(△,)的面积为：，222所以有且仅个点，eq\o\ac(△,)的积为，所D正；2第10页，共19页

222225522故选：．222225522利用椭圆的定义可知的迹是以

为点长轴长的圆写2椭圆方程解

eq\o\ac(△,)

面积的最大值断

的最小值判；出的方程，求解平行线与椭圆相切的方程，然后解平行线之间的即可，求解三角形的面积，判．本题考查椭圆方程的求法线椭圆的位置关系的应用直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．【案【解析】解：如图所示，以为标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(，，，所以′2，

2

2中，，过点′的线，垂足，作点作的线，垂足为，′平面，′平，所以直，与面′所的角分别，，即，，所以∠

′

，′2

，2因为

，以

2

2

2，即

2

，对于选，′，解得，足意，故正；对于选项，

，，所以

，又

2

，简得故正确；对于选，，2正确；对于项，

2+4=

，解得{或{2，足题意，故C2第11页，共19页

33，⋅，又即33所以，，是2

，令(

，，又

，5故由零点存在定理可在上在零点，即方程

2

在内解，满足题意，故D正．故选：．建系设点坐标作出题中的线面合

得2

2

，依次判断各个选，否有解即可．本题考查空间向量在立体几何中的应用查零点存在定理查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．【案【解析】解：先安排甲站中间一位置，然后安排其余了随机站位，即．故答案为：．先安排甲站中间一个位置，然后安排其余随机站位即可．本题考查有特殊元素的排列问题，属基础题．【案3【解析】解：设，，则

，

，(

，复在复平面内应的点的集合是以原为心，为半径的圆，|表示圆上的点到的离，|的最大值是点与心的距离再加上半径√2．故答案为：．根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共轭复数的概念，即可求解．第12页，共19页

则22本题主要考查复数的几何意义，考查共轭复数的概念，属于中档题．则22【案【解析】解：为边三角形且其面积为，eq\o\ac(△,)的长为，4，得．44由正弦定理可eq\o\ac(△,)接圆的半径为⋅2𝑠𝑖𝑛60°

，平面，2，四体的接球的半径22，球的表面积42．故答案为：．由正弦定理可eq\o\ac(△,)接圆的半径用勾股定理可得四面的接球的半径，即可求出球的面积．本题考查球的表面积学的计算能力四面的接球的半径是关键，属于中档题．【案4

2

【解析】解：因为

2

𝑛𝑛，所以，令，则

𝑛，因为，为数，所以，所以存，得

2

𝑛成，令(𝑒

2

𝑛，𝑛2，且𝑒

2

𝑙𝑛

2

，调递减，所以在0,

2

上，，单递增，在

2

,上，单递减，所以(

𝑚𝑥

𝑛22

，第13页，共19页

2𝑥𝑥𝑥𝐵𝐶，25，25𝑠𝑖𝑛𝐵𝐵，25，𝐴𝐴𝐴2𝐴𝐴．𝐴，2𝑥𝑥𝑥𝐵𝐶，25，25𝑠𝑖𝑛𝐵𝐵，25，𝐴𝐴𝐴2𝐴𝐴．𝐴，2𝐶2𝐶，则𝜋215245故答案为：4

2

根据题意可，令，则2𝑦𝑦𝑦

，题转化为存在，得

2

成，

2

𝑡，𝑦与𝑦𝑥)有交点，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．【案】解：

5𝑛𝐵，22𝐵𝐶𝜋𝐴22由正弦定理，可𝐵𝑠

𝐴2

√5𝑠𝑖𝑛𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴222，，则，22525

，𝑖2222

√5555(2)𝑐𝑜𝑠𝐴225

，𝑀𝐶，∠𝑀𝐵𝐶𝐶，𝐴

𝜋𝜋𝜋22

𝐴，𝑠𝑖𝑛2𝐶𝐴，2又𝜋𝐶𝐴𝐶)

𝜋2

，在𝐴𝐵中由正弦定理，可得，𝐶∠，

2

，eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶

𝐴2

152

∠

2

5

45

8

278

．【解析根已知条件，结合正弦定理可得，𝐵𝑠倍角公式求解即可．

𝐴2

𝐴，结合二(2)

2

𝐴25

，再根据已知条件，运用诱导公式，可得𝑛2𝐶，5第14页，共19页

𝑛1𝑛𝑛121𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑛1𝐶221𝐶21522𝐶2再结合正弦定理和三角形面积公式求解即可．𝑛1𝑛𝑛121𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑛1𝐶221𝐶21522𝐶2本题考查了三角函数与解三角的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．17.答案证明由知

𝑛2

𝑛1𝑛1

𝑛

即

𝑛

且，则数列

是以为项，为公比的等比数列．解由知𝑛𝑛1𝑛

𝑛

，则当𝑛时其𝑛项和

𝑛𝑛𝑛𝑛2

𝑛

，则

𝑛

，𝑛，且

也足通项，则由指数函数单调性知，

𝑛

，若满足

𝑛，，即实数的值范围．【解析将件化为

𝑛2

𝑛1𝑛1𝑛

，

𝑛

，从而证得数

是等比数列；求数的项由累加法求得数列}的通项并据单调性求得参数取值范𝑛𝑛围．本题主要考查数列递推式，等比数列的证明，以及累加法求和的应用，属于中档题．【案】解设个黑球连在一起被摸出的事件，据捆绑法得：7𝐶8

，

𝐶8

，7𝐶8

𝐶𝐶8

，5𝐶8分布列如下：

，第15页，共19页

175，，得，175，，得，，7

28

1728

514期望为

28

22814

3

6528

．【解析由意，利用捆绑法即可求得，先求取，，时概率，再列出分布列，再求期望即可．本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，属于中档题．【案】解：是边的边三角形，又，由勾股定理，，故平，又中，由于平平面，知面，则，又平平面，可得平面．以点为点方向为轴向为轴方向为轴立直角坐标系，则，√，，设(，可得平内

法向

𝑎,3

，平面内，，法向量，设直二面角的面，则

4可得．4【解析由知利用线面垂直的判定可证平面，而可证，用面面垂直的性质可证平面，，进而根据线面平行的判定即可证平．第16页，共19页

6⋅2⋅222100200，22222021226⋅2⋅222100200，2222202122，212121121)22设直二面角的面，由，，求得值，即可得解的．本题主要考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面平行的判定，考查了空间向量以及二面角的平面角及求法，属于中档题．20.

【答案】解：由意可得，解得{

，，椭的程为

．当线，的率存在时，记为，，则直线，的程为

，，设椭圆的′卫圆的圆𝑦，直，是圆的切线，

21

||，22

3化简可，，，是关的二次方程

𝑘

的两个根，020

，(,在椭圆上，00

，020

0

，设(,，,，由{2，{22

，解得2

，2212

，|

2212

，⋅𝑘

21

，|

1

9𝑘9𝑘

11，2211|

为定值．若和其中一斜率不存在，不妨率不存在，设圆心在一象限，与相切，所直线，圆横坐标为半，点切点，坐标与圆心纵坐标相同，第17页，共19页

𝑦2𝑥𝑥22又圆在椭圆上，由𝑦2𝑥𝑥22

224

𝑦，圆与轴相切，切点为(，此|

2

2

．综上所述，当直，其中一条斜率不存在时

2

2

；当直线，斜存在时

22【解析离心率及两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积间的关系求出的，进而求