高中数学北师大版第一章数列 市获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有()①{an＋3}②{aeq\o\al(2,n)}③{an＋1－an}④{2an}⑤{2an＋n}A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：①③④⑤是等差数列．答案：D2．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A．2 B．3C．0 D．4解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8,2m＋n＝10))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝2))，∴m和n的等差中项是3.答案：B2．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于()A．45 B．75C．180 D．300解析：方法一：设{an}首项为a1，公差为d，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝5a1＋20d即5a1＋20d＝450，a1＋4d＝90，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.方法二：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝eq\f(5,2)(a2＋a8)＝450，∴a2＋a8＝180.答案：C3．若{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为()A．p＋q B．0C．－(p＋q) \f(p＋q,2)解析：∵ap＝q，aq＝p，∴d＝eq\f(ap－aq,p－q)＝－1，∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q(－1)＝0.答案：B4．直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，那么周长为()A．6eq\r(6) B．12eq\r(3)C．9eq\r(3) D．6eq\r(3)解析：设三边为a－d，a，a＋d(a＞0且a＞|d|)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－d＝36，,a2＋a－d2＝a＋d2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－ad＝36，,a2＝4ad))⇒a2＝48.∵a＞0，∴a＝4eq\r(3)，周长为C＝a－d＋a＋a＋d＝3a＝12eq\r(3).答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________.解析：由题意可得a3＋a10＝3，又由性质可得a5＋a8＝a3＋a10.所以a5＋a8＝3.答案：36．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.解析：∵a7＋a1＝2a4，∴a7－2a4＝－a1＝－1，∴a1＝1又a3＝0，∴2d＝－1，d＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)7．在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3·a5·a7＝－21，求数列的通项公式．解析：∵a2＋a5＋a8＝9，a3·a5·a7＝－21，且a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a3＋a7＝2a5＝6，①a3·a7＝－7,②解①②得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2，故an＝a3＋(n－3)d＝2n－7或an＝a3＋(n－3)d＝－2n＋13.8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解析：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).))∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－eq\f(3,2)，a3＝f(x)，求：(1)x的值；(2)通项an.解析：(1)由f(x)＝x2－2x－3，得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，a3＝x2－2x－3，又因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，解得x＝0或x＝3.(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2