高中数学苏教版第二章平面向量单元测试 省一等奖

2．4向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做a与b的数量积，记作____________，即________________．答案：|a||b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ2．两非零向量a与b的夹角为θ，a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影是________，a·b的几何意义为__________________________________________________________．当θ为________时，b在a上投影为正；当θ为________时，b在a上的投影为负；当θ为________时，b在a上的投影为零．答案：|a|cosθ|b|cosθa的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积锐角钝角90°3．a，b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝________，特别地a·a＝________．答案：|a||b|－|a||b||a|24．|a·b|与|a|·|b|的大小关系是________．答案：|a·b|≤|a|·|b|5．向量数量积的运算律为a·b＝________；(λa)·b＝________＝________；(a＋b)·c＝________．答案：b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________．答案：x1x2＋y1y27．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么|a|＝________________________________________，这是平面内两点间的距离公式．答案：eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)8．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________．答案：x1x2＋y1y2＝09．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a、b的夹角为θ，则有cosθ＝________________．答案：eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(0≤θ≤π)．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．特别提示：(1)当0≤θ＜eq\f(π,2)时，cosθ＞0，从而a·b＞0；当eq\f(π,2)＜0≤π时，cosθ＜0，从而a·b＜0；当θ＝eq\f(π,2)时，cosθ＝0，从而a·b＝0.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．数量积的性质及运算律1．数量积的重要性质．设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角．(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)，a·a也可记作a2.(4)|a·b|≤|a|·|b|.2．数量积的运算律．已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(数乘结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．说明：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.(3)对于实数a、b、c，有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a、b、c而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．向量的模设a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝eq\r(x2＋y2)，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).即得平面上两点间的距离公式，与解析几何中的距离公式完全一致．向量的夹角设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2或a·b＝|a||b|cosθ＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))cosθ，故cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))，当θ＝90°时，cosθ＝0，即x1x2＋y1y2＝0，所以a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．i，j是互相垂直的单位向量，a是任一向量，则下列各式不成立的是()A．a·a＝|a|2B．i·i＝1C．i·j＝0D．a·j＝a答案：D2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：∵∠C＝90°，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝16，故选D.答案：D3．已知|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝()A．－1B．1C．－eq\f(9,2)D．－eq\f(23,2)解析：∵|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6eeq\o\al(2,1)＋7e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝－6＋eq\f(7,2)－2＝－eq\f(9,2).故选C.答案：C4．若a∥b，a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：∵a∥b，a⊥c，∴c·(a＋2b)＝c·a＋c·2b＝0＋0＝0，故选D.答案：D5．(2023·湖北卷)若向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________．解析：先判断△AOB是等腰三角形，再计算斜边长．由题意，并可知△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(10)，由勾股定理得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(20)＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)6．已知A(－1，1)，B(1，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于________．答案：eq\f(15,2)7．设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________．答案：eq\r(5)8．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝eq\r(3)，则b等于________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))9．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，a·b<0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角是________．答案：150°10．定义|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，求|a×b|.解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＝2×5×cosθ＝－6，∴cosθ＝－eq\f(3,5).又∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝eq\f(4,5).∴|a×b|＝|a||b|sinθ＝2×5×eq\f(4,5)＝8.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)11．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是________．解析：由于(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－2b）·a＝0，,（b－2a）·b＝0，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2a·b，,b2＝2a·b.))又∵cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,\r(2a·b)·\r(2a·b))＝eq\f(1,2)，∴a与b成的夹角为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________．解析：方程有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，|a|2－4|a|·|b|cos〈a，b〉≥0.∴cos〈a，b〉≤eq\f(1,2).∴〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))13．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(ka－b)，则实数k的值为________．解析：由(3a＋2b)·(ka－b)＝3k|a|2－3a·b＋2ka·b－2|b|2＝0得12k－18＝0，所以k＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)14．(2023·湖北卷)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．解析：通过向量的线性运算列方程求解．由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.答案：±315．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________．解析：∵|a|＝13，|b|＝19，∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a＋2a·b＋b2＝242.∴2a·b＝242－132－192＝46.∴|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝484.∴|a－b|＝22.答案：2216．已知|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7，且a＋b＋c＝0，则a，b的夹角θ＝________.解析：∵|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7，且a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c.∴a2＋2a·b＋b2＝c2.∴9＋2×3×5×cosθ＋25＝49.∴cosθ＝eq\f(1,2).∴θ＝60°.答案：60°17．已知向量a，b，c两两所成的角相等且均为120°.且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝1，求向量a＋b＋c的长度．解析：由已知向量a，b，c两两所成的角相等，均为120°，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝1.∴a·b＝|a||b|cos120°＝－3，b·c＝|b||c|cos120°＝－eq\f(3,2)，a·c＝|a||c|cos120°＝－1.∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝4＋9＋1－6－3－2＝3.∴|a＋b＋c|＝eq\r(3).18．已知a、b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．(1)求t的值；(2)求证：b⊥(a＋tb)．(1)解析：|a＋tb|＝eq\r(（a＋tb）2)＝eq\r(a2＋t2b2＋2ta·b)＝eq\r(|a|2＋|b|2t2＋2a·bt)＝eq\r(|b|2t2＋2a·bt＋|a|2)，当t＝－eq\f(2a·b,2|b|2)＝－eq\f(a·b,|b|2)时，|a＋tb|有最小值．故|a＋tb|取最小值时，t＝－eq\f(a·b,|b|2).(2)证明：∵b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a·b,|b|2)))·|b|2＝a·b－a·b＝0，∴b⊥(a＋tb)．19．已知a为非零向量，向量a与b的夹角为120°，向量a－3b与向量7a＋5b互相垂直，问：是否存在实数λ，使得向量a－4b与向量λa－b互相垂直？解析：∵(a－3b)⊥(7a＋5b)，∴(a－3b)·(7a＋5b)＝0.即：7|a|2－15|b|2－16a·b＝0.①假设λ存在，则由(a－4b)⊥(λa－b)得：(a－4b)·(λa－b)＝0，即：λ|a|2＋4|b|2－(1＋4λ)a·b＝0.②又a·b＝－eq\f(1,2)|a||b|，③令|a|＝|b|，联立①、②、③得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋4＋\f(1＋4λ,2)))|a|2＝0.∵a≠0，∴|a|>0.∴λ＋4＋eq\f(1＋4λ,2)＝0，即λ＝－eq\f(3,2).故存在实数λ＝－eq\f(3,2)，满足条件．20．已知△ABC是边长为2的正三角形，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→)).解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→