高中数学苏教版第三章概率 学业分层测评18

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知集合A＝{2,5}，在A中可重复地依次取出三个数a，b，c，构成空间直角坐标系内的点，则满足条件的点共________个.【解析】从集合A中有重复地取3个数，所有情况有(2,2,2)，(5,2,2)，(2,5,2)，(2,2,5)，(2,5,5)，(5,2,5)，(5,5,2)，(5,5,5).共8个点.【答案】82.从1,2,3三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取一个数，恰为偶数的概率为________.【解析】两位数有12,21,23,32,13,31，偶数有2个，因而任取一个数，恰为偶数的概率为eq\f(2,6)，即eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)3.(2023·南通高一检测)将一枚硬币投掷3次，出现“一个正面、两个反面”的概率是________.【解析】将一枚硬币投掷3次，所得结果共有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)8种，其中“一个正面，两个反面”共包括3种情况，故所求概率为eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)4.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.【解析】从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5).其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求概率为eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)5.(2023·南京高二检测)图3­2­1是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.图3­2­1【解析】茎叶图中的数据为18,19,21,22,22,27,29,30,30,33，共10个，其中落在区间[22,30)内的数有22,22,27,29,30,30共6个，故所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)6.现有5根竹竿，他们的长度(单位：m)分别为,,,,，若从中一次随机抽取2根竹竿，则他们的长度恰好相差0.3m的概率为________.【导学号：90200071】【解析】从5根竹竿中，一次随机抽取2根竹竿的方法数为10.而满足他们的长度恰好相差m的方法数为2个，即和,和.由古典概型概率的求法得P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)7.在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A＝{0,1,2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y＝x上的概率为________.【解析】由x，y∈{0,1,2}，这样的点共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)共9个，其中满足在直线y＝x上的点(x，y)有(0,0)，(1,1)，(2,2)3个，所以所求概率为P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)8.用红黄蓝三种不同的颜色给三个矩形随机地涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都相同的概率是________，三个矩形颜色都不同的概率是________.【解析】各种涂色的情况列树形图如下：由树形图知共有27种情况，其中三个矩形颜色都相同的有3种情况，故概率为eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)；三个矩形颜色都不同共有6种情况，故概率为eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).【答案】eq\f(1,9)eq\f(2,9)二、解答题9.设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P⊆Q，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}.(1)求b＝c的概率；(2)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率.【解】(1)因为P⊆Q，当b＝2时，c＝3,4,5,6,7,8,9；当b>2时，b＝c＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b＝c的事件数为7种，所以b＝c的概率为eq\f(7,14)＝eq\f(1,2).(2)记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4,5,6,7,8,9共6种.所以P(A)＝eq\f(6,14)＝eq\f(3,7).10.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解】(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种.从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝eq\f(4,9).(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[能力提升]1.从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是________.【解析】集合{a，b，c，d，e}的所有子集共25＝32个，集合{a，b，c}的子集共23＝8个，故所求概率为eq\f(8,32)＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)2.若将一枚骰子连续掷两次分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率是________.【解析】若m＋n<5，即点数和小于5，则(m，n)在x＋y＝5下方，点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)满足题意，∴P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)3.把一个体积为n×n×n(n≥3，n∈N*)cm3表面涂有红漆的正方体木块锯成n3个体积为1cm3的小正方体，从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________.【解析】由题意知这n3个小正方体中，三面涂有红漆的共8个；两面涂有红漆的共12(n－2)个，一面涂有红漆的共6(n－2)2＝6(n2－4n＋4)，故至少有一面涂有红漆的情况共有8＋12(n－2)＋6(n2－4n＋4)＝6n2－12n＋8(个)，所以所求概率为eq\f(6n2－12n＋8,n3).【答案】eq\f(6n2－12n＋8,n3)4.(2023·苏州高二检测)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.【导学号：90200072】【解】列树形图可得所有基本事件总数为27个.(1)设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包含的基本事件为(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个，∴P(A)