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第三章§3(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)一、选择题1.要证明eq\r(3)+eq\r(7)<2eq\r(5)可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法 B.分析法C.类比法 D.归纳法解析:要证明eq\r(3)+eq\r(7)<2eq\r(5),只需证eq\r(3)+eq\r(7)<eq\r(5)+eq\r(5).两边平方有10+2eq\r(21)<10+10.即只要证2eq\r(21)<10.再两边平方有84<100成立.故eq\r(3)+eq\r(7)<2eq\r(5)成立.由证明过程可知分析法最合理.答案:B2.如果a、b都是非零实数,则下列不等式不恒成立的是()A.|a+b|-|b|≤|a| B.2eq\r(ab)≤|a+b|(ab>0)C.|a-b|≥|b|-|a| D.|a+b|≥a-b解析:A中,|a|=|(a+b)-b|≥|a+b|-|b|成立;B中,要使2eq\r(ab)≤|a+b|成立,只需4ab≤a2+2ab+b2,即(a-b)2≥0成立,∴B中不等式恒成立;C中,|a-b|≥|b|-|a|成立;但D中不一定恒成立,当a≤b时显然成立,当a>b时,要使|a+b|≥a-b成立,只需使(a+b)2≥(a-b)2即4ab≥0成立,但a>b不一定有ab≥0成立,所以D中不等式不恒成立.答案:D3.设正数a、b、c、d满足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则()A.ad=bc B.ad<bcC.ad>bc D.ad≤bc解析:|a-d|<|b-c|,∴|a-d|2<|b-c|2,即a2+d2-2ad<b2+c2-2bc.∵a+d=b+c,∴(a+d)2=(b+c)2∴a2+d2+2ad=b2+c2+2bc.∴-4ad<-4bc.∴ad>bc.答案:C4.已知a,b为非零实数,则使不等式:eq\f(a,b)+eq\f(b,a)≤-2成立的一个充分不必要条件是()A.ab>0 B.ab<0C.a>0,b<0 D.a>0,b>0解析:∵eq\f(a,b)与eq\f(b,a)同号,由eq\f(a,b)+eq\f(b,a)≤-2,知eq\f(a,b)<0,eq\f(b,a)<0,即ab<0.又若ab<0,则eq\f(a,b)<0,eq\f(b,a)<0.∴eq\f(a,b)+eq\f(b,a)=-eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,b)))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,a)))))≤-2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,b)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,a))))=-2,综上,ab<0是eq\f(a,b)+eq\f(b,a)≤-2的充要条件,∴a>0,b<0是eq\f(a,b)+eq\f(b,a)≤-2的一个充分而不必要条件.答案:C二、填空题5.如右图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面,满足____________________时,BD⊥A1C.(写出一个条件即可解析:欲使BD⊥A1C只需BD⊥面A1ACC1,∴可填条件:BD⊥AC或ABCD为菱形(正方形)等.答案:BD⊥AC(不唯一)6.如果aeq\r(a)+beq\r(b)>aeq\r(b)+beq\r(a),则实数a,b应满足的条件是__________________.解析:aeq\r(a)+beq\r(b)>aeq\r(b)+beq\r(a)⇔aeq\r(a)-aeq\r(b)>beq\r(a)-beq\r(b)⇔a(eq\r(a)-eq\r(b))>b(eq\r(a)-eq\r(b))⇔(a-b)(eq\r(a)-eq\r(b))>0⇔(eq\r(a)+eq\r(b))(eq\r(a)-eq\r(b))2>0,只需a≠b且a,b都不小于零即可.答案:a≥0,b≥0且a≠b三、解答题7.已知a>6,求证:eq\r(a-3)-eq\r(a-4)<eq\r(a-5)-eq\r(a-6).证明:证法一:要证eq\r(a-3)-eq\r(a-4)<eq\r(a-5)-eq\r(a-6),只需证eq\r(a-3)+eq\r(a-6)<eq\r(a-5)+eq\r(a-4)⇐(eq\r(a-3)+eq\r(a-6))2<(eq\r(a-5)+eq\r(a-4))2,⇐2a-9+2eq\r(a-3a-6)<2a-9+2eq\r(a-5a-4)⇐eq\r(a-3a-6)<eq\r(a-5a-4),⇐(a-3)(a-6)<(a-5)(a-4),⇐18<20因为18<20显然成立,所以原不等式eq\r(a-3)-eq\r(a-4)<eq\r(a-5)-eq\r(a-6)成立.证法二:要证eq\r(a-3)-eq\r(a-4)<eq\r(a-5)-eq\r(a-6),只需证eq\f(1,\r(a-3)+\r(a-4))<eq\f(1,\r(a-5)+\r(a-6)),只需证eq\r(a-3)+eq\r(a-4)>eq\r(a-5)+eq\r(a-6).∵a>6,∴a-3>0,a-4>0,a-5>0,a-6>0.又∵a-3>a-5,∴eq\r(a-3)>eq\r(a-5).同样有eq\r(a-4)>eq\r(a-6),则eq\r(a-3)+eq\r(a-4)>eq\r(a-5)+eq\r(a-6).∴eq\r(a-3)-eq\r(a-4)<eq\r(a-5)-eq\r(a-6).8.已知a,b是正实数,求证:eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b).证明:证法一(比较法):∵eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))-eq\r(a)-eq\r(b)=eq\f(b-a,\r(a))+eq\f(a-b,\r(b))=eq\f(a-b\r(a)-\r(b),\r(ab))=eq\f(\r(a)-\r(b)2\r(a)+\r(b),\r(ab))≥0,∴eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b).证法二(分析法):要证eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b),只要证:aeq\r(a)+beq\r(b)≥eq\r(ab)(eq\r(a)+eq\r(b)).即证(a+b-eq\r(ab))(eq\r(a)+eq\r(b))≥eq\r(ab)(eq\r(a)+eq\r(b)).即证a+b-eq\r(ab)≥eq\r(ab).也就是要证a+b≥2eq\r(ab).显然a+b≥2eq\r(ab)成立,故eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b).证法三(综合法,因为左边是分式型,利用基本不等式x+eq\f(1,x)≥2(x>0)使左边向整式型过渡):(法一)∵eq\f(a,\r(b))+eq\r(b)+eq\f(b,\r(a))+eq\r(a)≥2eq\r(\f(a,\r(b))·\r(b))+2eq\r(\f(b,\r(a))·\r(a))=2eq\r(a)+2eq\r(b),当且仅当a=b时取等号,∴eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b).(法二)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))+\f(b,\r(a))))(eq\r(a)+eq\r(b))=a+b+eq\f(a\r(a),\r(b))+eq\f(b\r(b),\r(a))≥a+b+2eq\r(\f(a\r(a),\r(b))·\f(b\r(b),\r(a)))=a+b+2eq\r(ab)=(eq\r(a)+eq\r(b))2,当且仅当a=b时取等号,∴eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b).9.设a、b、c为三角形的三边,且S2=2ab
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