高中数学人教A版3第二章随机变量及其分布单元测试 优秀

2.3第三课时离散型随机变量的均值与方差（综合）一、课前准备1．课时目标(1)熟练应用离散型随机变量的均值公式求均值；(2)熟练应用离散型随机变量的方差公式求方差；(3)能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的方差公式求均值与方差.2．基础预探1.设离散型随机变量X的分布列为X……P……则EX＝__________，________，=__________.2.两点分布：若X服从两点分布，则EX＝__________，_______.3.二项分布：若随机变量X服从二项分布，即，则___________,_______.4.超几何分布：若随机变量X服从N，M，n的超几何分布，故=___________,_______.二、学习引领1.满足Y＝ａX＋ｂ两个随机变量均值的关系对随机变量X，若Y＝ａX＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y也是随机变量，且有.对上述公式，特别地，有：①当ａ＝0时，E（ｂ）＝ｂ，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当ａ＝1时，E（X＋ｂ）＝EX＋ｂ，即随机变量X与常数之和的期望等于X的期望与这个常数的和；③当ｂ＝0时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.2.随机变量函数的方差当ａ，ｂ均为常数时，随机变量函数的方差.特别地：①当ａ＝0时，D（ｂ）＝0，即常数的方差等于0；②当ａ＝1时，，即随机变量与常数之积的方差等于这个随机变量的方差本身；③当ｂ＝0时，，即随机变量与常数之积的方差，等于这常数的平方与这个随机变量方差的乘积.3.研究均值与方差问题的步骤①由题意抽象出题中需要的随机变量及其取值范围；②分析此随机变量是否满足某种常见的分布，若满足则套用相关公式；③若不满足，则找出随机变量取值对应的事件，求出相应的概率值；④列出随机变量的分布列；⑤利用均值和方差的公式求值.三、典例导析题型一含参的离散型随机变量均值与方差问题例1现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元,取0、1、2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(=1\*ROMANI)求、的概率分布和数学期望、;(=2\*ROMANII)当时,求的取值范围.思路导析：由，先列出其分布列，再利用与的关系得到的分布列，然后利用公式分别求得、的期望，建立解不等式便可求解第二问.解：(=1\*ROMANI)的概率分布为1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.由题设得,则的概率分布为012P故的概率分布为1.31.250.2P所以的数学期望为E=++=.(=2\*ROMANII)由,得:，整理可得，解之得.因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.规律总结：本题给出了满足一定关系的两个随机变量，通过解题过程可知，其中一个随机变量的分布列可以借助另外一个建立，这是顺利解决本题的关键.变式训练：随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是．题型二离散型随机变量均值与方差的计算例2国家队为了选拔参加伦敦奥运会的羽毛球混双运动员，组织一队与二队进行对抗比赛，在每局比赛中一队获胜的概率都是p（0≤p≤1）.（Ⅰ）若比赛6局，且p=,求一队至多获胜4局的概率是多少？（Ⅱ）若比赛6局，求一队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？（Ⅲ）若采用“五局三胜”制，求一队获胜时的比赛局数的分布列和数学期望.思路导析：本题的（I）（II）问同为二项分布的问题，可以根据其公式来解决.（III）问一队获胜时的比赛局数=3，4，5，分别表示事件“三局连胜”“前三局胜两局，第四局又胜”，“前四局胜两局，第五局又胜”这几个事件，可以分别求出概率值.解：（Ⅰ）设“比赛6局，一队至多获胜4局”为事件A，则=.∴一队至多获胜4局的概率为.（Ⅱ）设“若比赛6局，一队恰好获胜3局”为事件B,则.当p=0或p=1时，显然有.当0<p<1时，.当且仅当p=1-p,即时取等号.故一队恰好获胜3局的概率的最大值是.（Ⅲ）若采用“五局三胜”制，一队获胜时的比赛局数=3，4，5.，；.所以，的分布列为345P．规律总结：本题主要利用分布列的性质：所有项的概率和为1，各项都为正，求分布列的参数值.本题还要注意第二、三问类似二项分布却不是二项分布，要看清题意，防止审题出错.变式训练：新疆某110特警训练班共8名队员，进行实弹射击比赛，（Ⅰ）通过抽签将编号为1~8号的8名队员排到1~8号靶位，试求恰有5名队员所抽到靶位号与其编号相同的概率；(Ⅱ)此次射击比赛规定每人射击3次，总环数不少于29环的队员可获得神枪手称号.已知某队员击中10环和9环的概率均为0.5，（1）求该队员能获得神枪手称号的概率；（2）求该队员三次中靶环数总和η的分布列和数学期望.题型三离散型随机变量均值与方差与统计问题的综合应用例3以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．(注：方差s2＝eq\f(1,n)((x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2)，其中eq\x\to(x)为x1，x2，…，xn的平均数)思路导析：需先从茎叶图中还原出乙组同学种植树棵数再求平均数和方差.第二问先根据茎叶图，将甲、乙的植树棵数列出，组合得到植树总棵数Y的取值，进而列出分布列.解:(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(8＋8＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)；方差为s2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(35,4)))2＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,4)))2))＝eq\f(11,16).(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取1名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，同理可得P(Y＝18)＝eq\f(1,4)；P(Y＝19)＝eq\f(1,4)；P(Y＝20)＝eq\f(1,4)；P(Y＝21)＝eq\f(1,8).所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×eq\f(1,8)＋18×eq\f(1,4)＋19×eq\f(1,4)＋20×eq\f(1,4)＋21×eq\f(1,8)＝19.规律总结：本题利用茎叶图给出题目需要的数据，展现了离散型随机变量与统计问题的完美结合，能否准确的从茎叶图读取数据是解决本题的关键.变式训练：某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，t＜94，,2，94≤t＜102，,4，t≥102.))从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)四、随堂练习1．随机变量X的分布列如下表：则X的数学期望是（）．A．2.0B．2.1C．2.2D．随m的变化而变化.2．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为表示5位乘客在20层下电梯的人数，则随机变量X的期望（）A．B.C.2D.3．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为，则的数学期望是（）．A．7.8B．8C．16D．15.64.设某运动员投篮命中概率是0.6，则一次投篮时投中次数的期望为_____，方差为_______．5．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是．若此人未能通过的科目数的均值是2，则=________.6．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望.五、课后作业．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，则得分X的均值与方差分别为()．A．EX=0，DX=1B．EX=，DX=C．EX=0，DX=D．EX=，DX=12.若，且，则的值为（）.A．B．C．D．3.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：123？！？请小牛同学计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案=.4.一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同.若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数X的数学期望是．5.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内事件E发生的概率P，为使公司收益的期望等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？6.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．参考答案2.3第三课时离散型随机变量的均值与方差（综合）一、课前准备2．基础预探1.2.ｐ3.np4.三、典例导析例1变式训练答案：1解析：由题意可得，解之可得，，再根据方差公式可知=1.例2变式训练解：（I）记恰有5名队员抽到的靶位与其编号相同的事件为A，则P(A)=.(II)（1）记该队员获得神枪手称号的事件为B，则P(B)=.（2）P(=27)=0.53=0.125,P(=28)=,P(=29)=,P(=30)=0.53=0.125.的分布列如下表：27282930P0.1250.3750.3750.125E=27×0.125+28×0.375+29×0.375+30×0.125=28.5.例3变式训练解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为eq\f(22＋8,100)＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为eq\f(32＋10,100)＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此，P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，即X的分布列为X－224P0.040.540.42X的数学期望EX＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.四、随堂练习1.答案：B解析：因为，所以，所以.2．答案：B解析：因为，所以.3．答案：A解析：的取值为6，9，12，相应的概率为，．4.答案：0.6；0.24解析：投中次数的取值为0，1，的分布列为01P0.40.6所以，.5．答案：解析：因为通过各科考试的概率为，所以不能通过考试的概率为，易知，所以，解得.6．解：(1)X可能的取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(18,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,35)，P(X＝4)＝eq\f(1,C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70).即X的分布列为ξ01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq