高中数学人教A版第一章空间几何体学业分层测评5

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是()A．54π B．8πC．4π D．16π【解析】S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.【答案】A2．(2023·烟台高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．π B．2πC．4π D．8π【解析】设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π.【答案】B3．如图1­3­7，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，则该几何体的俯视图可以是()图1­3­7【解析】由三视图的概念可知，此几何体高为1，其体积V＝Sh＝S＝eq\f(1,2)，即底面积S＝eq\f(1,2)，结合选项可知，俯视图为三角形．【答案】C4．(2023·天津高一检测)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1­3­8所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是()图1­3­8A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8【解析】由题图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)，侧面三角形的高h＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，S侧＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5).【答案】B5．(2023·安徽高考)一个四面体的三视图如图1­3­9所示，则该四面体的表面积是()图1­3­9A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).故选B.【答案】B二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6cm,4cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.【导学号：09960026】【解析】棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．【答案】727．(2023·天津高考)一个几何体的三视图如图1­3­10所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1­3­10【解析】由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V＝eq\f(1,3)π×12×1×2＋π×12×2＝eq\f(8,3)π.【答案】eq\f(8,3)π三、解答题8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1­3­11所示，AA1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．图1­3­11【解】(1)直观图如图所示．(2)由题意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4).S侧＝3×AC×AA1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的表面积为27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).这个三棱柱的体积为eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【导学号：09960027】【解】如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R，l，高为h.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)，即R－r＝3×eq\f(\r(3),3)，∴R－r＝eq\r(3).又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3，∴V圆台＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.所以圆台的体积为21π.[自我挑战]10．(2023·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.【导学号：09960028】【解析】因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，设圆锥的底面圆的半径为r，因为扇形的弧长为eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圆的面积为eq\f(4,9)π.所以圆锥的表面积为eq\f(16,9)π.【答案】eq\f(16,9)π11．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC【解】如图所示，连接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，∴VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝eq\f(1,2)VA­BB1C1C，又VA­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝∴V