2020数学三真题答案

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2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、选择题：小每小题4分,共．下列每题给出的四个选项只有一个选项是符合题目要求的．(1)lima

f(x)sinf()a，则limxxax

)(A).baa(C).bsinf(a)bcosf(a)【答案】B【解析】limx

sinf()af()af(f(x)cosf()xfx设fx)，则lima

f(x)sina=limf(xu()u

cos

u(a)

cosf(a)则lim

sinf)sinf(x)f()sin(x)f()limlimxf(x)a(x)x=a(2)数f()(A).1

eex2)

）2

x(C).34【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：找无定义的点（无意义的点）求该点的左极限按间断点的定义判定。第二类间断点的定义为

f(),f()0

至少有一个不存在，很显然

f(x)

不存在的点为xxx

。在limf(x)limf(x)xx在处，f(x)limf()=0

1e

；在，lime

，e

f)，limf(x)x1x1在x处，limf()f(x)+x

2

所以，第二类间断点为3。(3)对奇函数

f(在

上有连续导数，则()(A).

x

f(t)

是奇函数0(B).

x

f(t)

是偶函数0(C).

x

f

(t)

是奇函数0f(t)0【答案】：A

是偶函数【解析】f(x)

为奇函数，则其导数f

为偶函数，又x偶函数，则cosf)f()

，则f(x)

为偶函数，cos(

为偶函数，以03

的收敛区间为(2,6)的收敛区间为(2,6)，则ax1)(4).知幂级数nax2)为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选A;于和D选项，

为偶函数，则cosf

为偶函数，f()

为奇函数，则cosf(

既非奇函数又非偶函数。2n

的收敛区间为(A).(-2,6)(B).(-3,1)(D).(-17,15)【答案】B【解析】由比值法可知，幂级数收敛时，limn

(x1)2n2n1x1)2nn

lim1nan

(2

1则要求

n1

(n

2

的收敛区间，只需要求出limn

nn

的值即可，而条件告诉我们幂级数nax2)

的收敛区间为(

，即收敛半径为limn

(1)n1n

limn

1an1limnan

则limn

n1n

(2n

(1)2

1即x1所以本题选B(5)设4阶矩阵)ij

不可逆，的代数余子式A,,,α为矩阵1234列向量组，*A伴随矩阵，则*通解为（）（A）α33

（B）xαα22

（C）α3

（D）xαα3

4

**01**0101【答案】（C）【解析】)可逆知，r(A4由A知A*α,ααij3

4线性无关（无关组的延长组仍无关），故r(A及r()故A*基础解系含有3个向量。由A*AAE知，列向量均为

解，故通解为α。34(6)设阶矩阵，α为A特征1应的两个线性无关的特征向量α

10

为特征值特征向量。若存在可逆矩阵P，使得，则为（）（A）(,α,)3（C）(,α)3

（B）(,α)223（D）(,,α)22【答案】（D）【解析】因为αα为特征1应的两个线性无关的特征向量，故α仍为特征的个线性无关的特征向量；因为为A的特征值23特征向量，故仍为特征值特征向量，因为特征向量与特征值的排序一

10

一对应，故只需αα)，就有P

AP。(7)一个的概率为（）

1PABPP，则A,B,C好发生(A).(B).

5

(C)

【答案】（D）【解析】(ABC)()(ABC)(BC)(A)(B)()()()()(B(AB)()(ABC)(C(AC)()()又ABC，P(ABC()原式

154(8).二维随机变量,服从

12

，则下列服从标准正态分布且与X

独立的是（）(A).

(B).

(C).

【答案】（C）【解析】由二维正态分布可知X~(0,1)~N，()DXDXDYXY3(0,1)所以X~3

又cov(,X),)cov(X

XY

DX

6

所以X与

33

_______.二、填空题：914小题每小题,24分．(9)arctanx(0,)x【答案】dz(0,)dycos(x)xy)【解析】d1)d1x)

，将x带入可知，dz

(0,)

x(10)知曲线满足xy【答案】

xy

，求曲线在点(0,处的切线方程【解析】在xy

2

两侧同时对求导+

2xyy)，将dxdx可知，所以切线方程为yd(11)产量为，单价为厂商成本函数C()100需求函数为(P

800P

，求厂商取得最大利润时的产量【答案【解析】Q)

P

可知，则利润函数为Q800L)(100

，

L(QL(Q令得，Q(Q2dQQ，此时

(，故取得最大利润2x1(12)平面区域D,y),0x的体积1【答案】2)37

，则求旋转所成旋转体

x1x1【解析】由题意列式得2xln(12)(ln)23

1(13)行列式

0

【答案】(a.【解析】原式

100a

1120

1a22a12a(4).0(14)随变量X的分布律为k,k1,2,...,Y为被3的余数，则k解析P

118

128n7

1247427三、解答题：15～23题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(题满分分)设

为常数，且当

时，

与

为等价无穷小，求

的值.8

【解析】①，由于

，则，且①式，得.(16)(题满分分)函数f3的极值.【解析】，解得，

.且，，

.讨论：①对于不为极值点；

，求得，因，则②对于，求得，因

且，则为极小值点，且极小值为

.(17)(题满分分)设函数

满足，且有

.（Ⅰ）求；Ⅱ）设

，求

.9

【解析】（Ⅰ）由

得，解得，则

，又由

得，则（Ⅱ）

.，则

.(18)(题满分分)区域

，，计算

.【解析】设，则，10

两边同取积分得.则，.(19)(题满分分)函数f数.f

Mx证:(1)

M(2)对任意x.证明:(1)M,f()显然成立M时不妨设在点c((0,2))处取得最大|f(c)|由拉格朗日中值定理得,c),得f111

f(cf(0)=;

22212112xy22xy,22212112xy22xy,TTT存

(c,,得f

)

f(2)f(cM;所以(

M(2MM)(M),M介于与之间从而有c2c)|f

或

)|

,结论得证.（Ⅱ）当,采用反证法,假设M.则f

1

或

2

)|>M与已知矛盾,假设不成立.当,此|f,易知f

.G()f(x),0x则Gf

M0,G(调递减.G(0)从(x),即f(x)Mx,x.因此fM,从而M.综上所述,最终(20)(题满分分)次型f,)xx经正交变换化为二次型g(y)y，a求：1122（I）a,的值；（II）正交矩Q4【答案】（I）4,b；（IIQ5

.【解析】（I）记yfAx,By。

22

，故因为故fy

T

Q

T

AQy，所以，其Q为正交矩阵。12

1221222tr()所以A,相似，故特征值相同，故知，，故a。（II）由AtrA知AB的特征值均为2

。2解齐次线性方程组(

i

A)(

i

)，求特征向量并直接单位化，对

，

1E知，α

15

；对

，由E知，α；0同理，的属于特征值

的特征向量为β1

，的属于特征值特征向量为βQα,α12

2

Qβ)22

，就有QT11

0BQ，因此Q1

，只需令QQ1

T

2

15

，则

AQ，次型f(x,x)经正交变换x化g(,)。212(21)(题满分分)设阶矩阵，α)，α是非零向量且不是特征向量。（I）证明矩阵逆；（II）若

αα求判断A是相似于对角矩阵。13

【解析】（I）设αA2①若

，则由0

知

；②若

，则

αα，所以是的于特征值2

12

的特征向量，与已知条件产生矛盾。所以，

，向量组,α2

线性无关，故矩阵可逆（II）因为A

αα，所以，(,

2

α),6α)α,Aα

，记，AA)α,Aα)

6

，即，由逆知A,相似且PB由

知，矩阵的特征值均为2,

0因为特征值互不相同，故矩阵A似于对角矩(22)(题满分分)二维随机变量,在区域x1x2上服从均匀分布，且

XY0Y0Z0,XY0Y0求（1

）二维随机变量,1

2

布；（

）求,1

2

的相关系数.14

Ft【解析】（1由题意x