统计学教案习题10直线相关与回归

〔一〕⒈直线相关与回归的根本概念。

第十章直线相关与回归一、教学大纲要求⒉相关系数与回归系数的意义及计算。⒊相关系数与回归系数相互的区分与联系。〔二〕生疏内容⒈相关系数与回归系数的假设检验。⒉直线回归方程的应用。⒊秩相关与秩回归的意义。〔三〕了解内容 曲线直线化。二、学内容精要(一)直线回归根本概念直线回归(linearregression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程平方和为最小。直线回归是回归分析中最根本、最简洁的一种，故又称简洁回归simpleregressio。Y

abX中，a、b是打算直线的两个系数，见表10-1。10-1直线回归方程a、b两系数比照a b含义系数<0

回归直线在YintercepX为零时，Y的平均水平的估量值。a>0表示直线与纵轴的交点在原点的上方a<0表示直线与纵轴的交点在原点的下方a=0表示回归直线通过原点

回归系数regressioncoefficien的斜率。表示X每变化一个单位时，Y的平均变化量的估量值。b>0YX增大而增大b<0YX增大而减小b=0XYX的变化而变化计算公式

aYbX

(XX)(YY)b(XX)2

llXYXX样本回归系数b的假设检验〕t检验。直线回归方程的应用〕描述两变量的依存关系〕用回归方程进展推测；〕用回归方程进展统计掌握〕用直线回归应留意的问题。(二)直线相关根本概念直线相关linearcorrelatio〕又称简洁相关simplecorrelatio和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。相关系数又称积差相关系数coefficientofproduct-momentcorrelatio，以符号r表示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的亲热程度与相关方向的指标。计算公式(XX)2 (YY)2XYl lXX YY(X(XX)2 (YY)2XYl lXX YY相关系数r没有单位，其值为－1≤r≤1。其确定值愈接近1，两个变量间的直线相关愈亲热；愈接近0，相关愈rr另一变量削减，即方向相反；r确实定值等于1为完全相关。样本相关系数r的假设检验〔1〕r界值表法；〔2〕t检验法。〔三〕直线回归与相关的区分与联系区分资料要求：直线回归要求因变量Y听从正态分布，X是可以准确测量和严格掌握的变量，一般称为Ⅰ型回归；直线相关要求两个变量X、Y听从双变量正态分布。这种资料假设进展回归分析称为Ⅱ型回归。应用状况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。意义：bX每增〔减〕b个单位；r说明具有直线关系的两个变量间关系的亲热程度与相关方向。llxxyy计算：b=lxy/lxx；r=llxxyy〔5〕取值范围：—∞＜b＜+∞；－1≤r≤1。〔6〕单位：b有单位；r没有单位。联系方向全都：对一组数据假设能同时计算b和r,它们的符号全都。假设检验等价：对同一样本，rb的假设检验得到的ttb=tr。l2用回归解释相关：打算系数r2 ll

SS SS回

，回归平方和越接近总平方和，xxyyr21，说明引入相关的效果越好。〔四〕秩相关秩相关，又称等级相关rankcorrelatio，是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于以下资料：⒈不听从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；⒉总体分布型未知；⒊用等级表示的原始数据。回归系数的假设检验〔 〕

三、典型试题分析只能用r的检验代替 B．只能用t检验C．只能用F检验 D．三者均可答案：D[评析] 此题考点：回归系数假设检验方法的理解。r回归系数的假设检验常用的方法有：①方差分析；②t检验。对同一样本，rb的假设检验等价，rb的假设t值相等，即tb=t。故回归系数的假设检验用三者均可。rr=r，那么〔〕1 2b1=b2 B．tb1=tb2C．tr1=tr2 D．两样本打算系数相等答案：D[评析]此题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解。1 由于相关系数r和回归系数b的计算公式不同，不能推导出b1=b2；rb的假设检验等价，即tr1=tb，tr2=tb1 而不是b=b=r2；样本打算系数为，rr，则两样本打算系数相等，即r=r。23．|r|>r

1 2 1 2时，可认为两变量XY间〔〕0.05(n-2)A．有肯定关系 B.有正相关关系C．肯定有直线关系 D.有直线关系答案：D[评析]此题考点：直线相关系数假设检验的理解。由于直线相关系数rρ的估量值。由于抽样误差的影响，必需进展显著性检验。r的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系|r|>r 时，P<0.05，拒绝H，承受H，认为总体相0.05(n-2) 0 1关系数ρ≠0，因此可认为两变量X与Y间有直线关系。4．相关系数检验的无效假设H0是〔〕A．ρ=0 B.ρ≠0C．ρ>0 D.ρ<0答案：A[评析]此题考点：直线相关系数显著性检验中检验假设的理解。由于rρ的估量值。要判两变量间是否有相关关系，就要检验r是否来自总体相关系数ρρ=0的总体作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得r值也常不等于零。同一双变量资料，进展直线相关与回归分析，有〔。A．r>0，b<0 B.r>0，b>0C．r<0，b>0 D.rb的符号毫无关系答案：B[评析]此题考点：直线相关与回归的区分与联系的理解。b和r,它们的符号全都。因此，同一双变量资料，进展直线相关与回归分析，有r>0，b>0。四、习题〔一〕单项选择题以下( )式可消灭负值。A．∑〔X—X〕2 B．∑Y2—〔∑Y〕2/n．Y—Y)2 ．∑—X—Y〕Y=14+4X是1~7岁儿童以年龄〔岁〕估量体重〔市斤〕的回归方程，假设体重换成国际单kg，则此方程( )。截距转变 B．回归系数转变C．两者都转变 D．两者都不转变r=1，则肯定有( )。b=1 B．a=1C．SY.X=0 D．SY.X=SY用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观看( )。A．距直线的纵向距离相等B．距直线的纵向距离的平方和最小C．与直线的垂直距离相等D．与直线的垂直距离的平方和最小直线回归分析中，X的影响被扣除后，Y方面的变异可用指标( )表示。C. S

x,y(YY)2(n2)

B. S ((XX)2(n2)(YY)2(n1)XX2D. S Sy,x b xy直线回归系数假设检验，其自由度( )。A．n B．n－1C．n－2 D．2n－1应变量Y的离均差平方和划分，可消灭( )。回 B．SS总=SS剩C．SS总=SS回 D．以上均可以下计算SS剩的公式不正确的选项是( )。A．lYY

l b B．lXY

blXXC. lYY

l2 lXY

D．(1r2)lYY直线相关系数可用( )计算。A．lXY

l lXXYY

B．bl lXX YYl lXX YYC．b bYX XYr=0时，Y

D．以上均可abX回归方程中有( )。A．a必大于零 B.a必等于XC．a必等于零 D.a必等于Y〔二〕名词解释1.直线回归2.3.4.5.直线相关6.零相关7.8.9.10.秩相关〔三〕是非题2SS1=SS剩2

r。12直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。12两变量关系越亲热r值越大。〔四〕简答题用什么方法考察回归直线图示是否正确？剩余标准差的意义和用途？n=100，XY的相关系数为r=0.1，可否认为XY有较亲热的相关关系？rrs的应用条件有何不同？应用直线回归和相关分析时应留意哪些问题？举例说明如何用直线回归方程进展推测和掌握？直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？〔五〕计算题1．1020岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2。⑴计算相关系数并对ρ=0进展假设检验；⑵计算总体ρ95%可信区间。表10-2 10名20岁男青年身高与前臂长17017317017316015517318817818318016545424441475047464943〔cm〕前臂长〔cm〕10-3。⑴此资料有无可疑的特别点？⑵求直线回归方程并对回归系数作假设检验。⑶试估量进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。⑷求进食量为900gY95%容许区间，并解释其意义。表10-3 八只大白鼠的进食量和体重增加量鼠号12345678进食量〔g〕800780720867690787934750增量〔g〕185158130180134167186133某省卫生防疫站对八个城市进展肺癌死亡回忆调查，并对大气中苯并〕者有无相关？表10-4 八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并〔a〕芘浓度城市编号12345678肺癌标化死亡率〔1/10万〕5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.10苯并〔a〕芘〔μg/100m3〕0.051.171.050.100.750.500.651.20就下表资料分析血小板和出血症的关系。表10-5 12例病人的血小板浓度和出血症的关系病例号123456789101112血小板数12013016031042054074010601260123014402023出血病症+++++±－++－－－－++－五、习题答题要点〔一〕单项选择题1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.D〔二〕名词解释直线回归〔linearregression〕建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最根本、最简洁的一种，故又称简洁回归simpleregressio。回归系数〔regressioncoefficient〕即直线的斜率(slope)，在直线回归方程中用b表示，b的统计意义为X每增〔减〕一个单位时，Yb个单位。剩余平方和residualsumofsquares

Y ˆ即2X即2XY的线性影响之外的一切因素对Y的变异的作用，也就是在总平方和中无法用X解释的局部。在散点图中，各实测点离回归直线越近，

Y

2也就越小，说明直线回归的估量误差越小。回归平方和regressionsumofs

ˆ 即回即

2，它反映由于XY的直线关系而使Y的总变异所减小的局部，也就是在总平方和中可以用X解释的局部。回归平方和越大，说明回归效果越好。直线相关linearcorrelatio〕又称简洁相关simplecorrelatio相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。零相关〔zerrocorrelation〕是指两变量间没有直线相关关系。l2lXY XXcoefficientofproduct-momentcorrelatio，以符号rl2lXY XX〔coefficientofdetermination〕r的平方，r2

l2 l l

l

SSSS回SS总固定不变时，XXYY YY 总回归平方和的大小打算了r平方的大小。回归平方和越接近总平方和，则r平方值越接近1。曲线直线化〔rectification〕是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简洁的变量变换使之直线化，用直线回归分析方法来分析。秩相关又称等级相关rankcorrelatio双变量正态分布而不宜作积差相关分析；⑵总体分布型未知；⑶用等级表示的原始数据。〔三〕是非题错。两样本剩余平方和SS1=SS2，但两样本总平方和SS总及回归平方和SS回不肯定相等，故两样本相关系r与r1

不肯定相等。正确。错。相关系数rr1，两个变量间的直线相关愈亲热；愈接近0，相关愈不亲热。〔四〕简答题用以下三种方法判定：⑴直线必需通过点〔X，Y。a。⑶直线是否在自变量X的实测范围内。剩余标准差用s

sY.

SS剩

n2

Y

2 n2XY的影响被扣除后，Y方面仍有变异。这局部变异与X无关，纯属抽样变异。故sY.X是用来反映YlXX的剩余变异的，即不考虑X以后YlXX⑴估量回归系数bsb

sY.X

，进展回归系数的区间估量和假设检验。⑵估量总体中当X为某肯定值时，估量值Yˆ的标准误。sYˆ

s1n1n(XX)2(XX)2并可计算的可信区间，s 1n(1n(XX)2(XX)2s sYˆ Y.X

，并计算个体Y值的容许区间。0 n=100，r=0.1时，对相关系数进展t检验，按检验水准α=0.05H(ρ=0)H(ρ≠0)，认为两变量r2=0.12=0.01，表示回归平方和在总平方和中仅占1%0 s积差相关系数r用于描述双变量正态分布资料的相关关系。等级相关系数rs

适用于以下资料：⑴不听从双变量正态分布而不宜作积差相关分析的资料；⑵总体分布型未知的资料；⑶原始资料是用等级表示的资料。留意以下五个问题⑴作回归分析和相关分析时要有实际意义，不能把毫无关联的两种现象作回归、相关分析，必需对两种现象间的内在联系有所生疏。⑵在进展回归分析和相关分析之前，应绘制散点图。但观看点的分布有直线趋势时，才适宜作回归、相关分析。假设散点图呈明显曲线趋势，应使之直线化再行分析。散点图还能提示资料有无可疑特别点。⑶直线回归方程的应用范围一般以自变量的取值范围为限。假设无充分理由证明超过自变量取值范围外还是直线，应避开外延。⑷双变量的小样本经t检验只能推断两变量间有无直线关系，而不能推断相关的严密程度，要推断相关的严密程度，样本含量必需很大。⑸相关或回归关系不肯定是因果关系，也可能是伴随关系，有相关或回归关系不能证明事物间确有内在联系。用直线回归方程进展推测和掌握的步骤⑴依据争论目确实定预报因子〕和预报量，由X估量Y值，收集资料。⑵建立预报方程abX，并进展回归系数假设检验。假设P小于临界值，则回归方程成立。⑶依据回归方程在X实测范围内对Y进展推测，并计算X为某定值时，个体Y值波动范围〔容许区间。例如，1~7岁儿童，X为年龄，Y为体重，可依据年龄推测〔估量〕体重。Y值在肯定范围内波动，可以通过掌握自变量X的取值来实现。步骤同前。例如，针刺哑门穴，进针深度YX间存在直线关系，可依据X取值到达掌握Y的目的。Ⅰ型回归中，X为周密测量和严格掌握的变量，Y为正态变量。Ⅱ型回归中，X、Y均为听从正态分布的随机X，何者为Y，依据争论目确实定。例如，测得某一人群的身高和体重两变量，假设目的只是由身高估量体重，则确定X为身高，Y为体重。〔五〕计算题．由原始数据及散点图的初步分析〔10-，估量本资料有直线趋势。))m长臂前514947454341393735150160170身高(cm)180190图10-110名20岁男青年身高与前臂长散点图〔1〕计算相关系数X172X229852X175Y45Y22069Y4XY78541l X2X2 n2985251725210965XXl

Y

n206904542

1078.4YYl XYXY

X

Yn78541172545410226XYl lXXYYrXYl lXXYY

226962.578.4 962.578.4与ρ=0进展假设检验。H：ρ=0，即身高与前臂长间无直线相关关系0H：ρ≠0，即身高与前臂长间有直线相关关系0.82270.8227 10210.822721r2n21r2n2s

4.09rα=0.050 n21028t界值表，得0.002<P<0.005，按α=0.05HH，故可认为20岁男青0 ⑵算总体ρ95%可信区间。rz变换：z1ln1r

1ln10.82271.16512 1r 2 10.8227 =tan0.8227=1.1651z95%可信区间：n3n3103z103

n3，zu0.051.16511.96 1031.16511.960.4241.9059按=tanhz对z作反变换，得2095可信区间为0.4000.956．由原始数据及散点图初步分析〔图10-，估本资料有直线趋势，故作以下计算。∑X=6328，∑X2=5048814，X791159.125 ，∑XY=1018263XXl X2(X)2 n504881463282843366XXl Y2(Y)2 n2066191273284052.875YYl XY(XY

Y)n101826363281273811320lb lXX

1132043366

0.261aYbX159.1250.26179147.326200200180)Y=－47.33+0.26XY=78.29+0.10X( 160重增140120100600700800进食量(g)900100010-2大白鼠的进食量与增加体重散点图〔1〕回归系数假设检验：0H：β＝0，即进食量与增重之间无直线关系01H：β≠0α＝0.051SS l总

4052.875SS l2 l回 XY

113202433662954.905SS SS剩

SS回

4052.8752954.9051097.97① 方差分析，见表10-6。10-6方差分析表变异来源SSυMSF总变异4052.8757回归2954.90512954.90516.147剩余1097.9706182.995F=16.147F界值表，得P<0.01，按α＝0.05水准，拒绝HH，可认为大白鼠的进食量与增加0 1体重间有直线关系。②t检验：0H：β＝0，即进食量与增重之间无直线关系01H：β≠0，即进食量与增重之间有直线关系α＝0.051SS l总

4052.875SS l2 l回 XY

113202433662954.905SS SS剩

SS回

4052.8752954.9051097.97sY.X

剩sY.XlXX13.5276 43366tbsY.XlXX13.5276 43366sb

0.261

4.01816.1470 按υ=6t界值表，得0.01>P>0.05，按α＝0.05H16.1470 F此题 F

4.018t序号XY10-7残差的计算Yˆ1800185161.4742780158156.2543720130140.5944867180178.9615690134132.7646787167158.0817序号XY10-7残差的计算Yˆ1800185161.4742780158156.2543720130140.5944867180178.9615690134132.7646787167158.0817934186196.4488750133148.424由散点图及残差分析，第一号点〔X=800，Y=185〕为可疑的特别点。

Y－Yˆ23.5261.746－10.5941.0391.2368.919－10.448－15.42495%95%可信区间。总体回归系数β95%可信区间：〔b－t0.05(n

，b＋t S〕b4336643366— b 0.05(n－b4336643366=〔0.261－2.447×13.5107∕=〔0.1022，0.4198〕

，0.261＋2.447×13.5107∕ 〕1 1 2 X=690，代入回归方程Yˆ=－47.326+0.261XY=132.76；X=934，Y=196.45。在图上确定〔690，132.76〕和〔934，196.45〕两个点，以直线连接即得回归直线的图形见图10-21 1 2 95%可信区间下限和上限分别代入aYbX，得a1

=78.285，a2

=－172.93795%可信区间上、下限对应的两条直线，即图10-2中两条回归直线，回归方程为：Yˆ=78.285+0.1022X，Yˆ=－172.937+0.4198X1n(1n(XX)2(XX)2s sY Y.X1818(900791)2 43366X=900ˆ

95%可信区间：ˆ

8.5446

s，YYˆ

＋t0.05(6)sˆ〕=〔187.574－2.447×8.5446，187.574＋2.447×8.5446〕=〔166.67，208.48〕即总体中，进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加187.574g，其95%的可信区间为166.67~208.48g。900g〔此正态分布的样本均数估量值为假设从今正态分布中重复抽样10010095〔虽然这个总体均数真值是未知的。⑷求进食量为900gY95%容许区间，并解释其意义。1111n(XX)2(XX)2Y Y.X118118(900791)2 43366X=900时，Yˆ=－47.326+0.261X=187.574Y95%容许区间：S S〕0.05(6)Y 0.05(6)Y=〔187.574－2.447×16.0002，187.574＋2