高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程-参赛作品2

第二章2.2.2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，离心率是eq\f(\r(6),3)，则椭圆C的方程为()\f(x2,3)＋y2＝1 ＋eq\f(y2,3)＝1\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 \f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1解析：因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.故选A.答案：A2．曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，前者焦距为2c＝2eq\r(25－9)＝8，后者焦距为2c＝2eq\r(25－k－9－k)＝8.故选D.答案：D3．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()\f(\r(2),2) \f(\r(3),3)\f(1,2) \f(1,3)解析：因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，±\f(b2,a)))，再由∠F1PF2＝60°，有eq\f(3b2,a)＝2a，从而可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，故选B.答案：B4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()\f(x2,4)＋eq\f(x2,9)＝1 \f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1 \f(x2,9)＋eq\f(y2,36)＝1解析：依题意设椭圆G的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a∵椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(36－b2),6)＝eq\f(\r(3),2)，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．解析：当P在短轴端点时，∠F1PF2为直角，从而在椭圆上存在2个位置使PF1⊥PF2.答案：26．在△ABC中，|AB|＝|BC|，cosB＝－eq\f(7,18)，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.解析：设|AB|＝|BC|＝1，又cosB＝－eq\f(7,18)，则|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB|·|BC|·cosB＝eq\f(25,9)，所以|AC|＝eq\f(5,3)，则2a＝1＋eq\f(5,3)＝eq\f(8,3)，2c＝1，e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)三、解答题(每小题10分，共20分)7．求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x2＋eq\f(y2,25)＝1，∴椭圆的焦点在y轴上，且a2＝25，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝24，∴c＝2eq\r(6)，a＝5，b＝1，∴长轴长为10，短轴长为2，焦点为(0，±2eq\r(6))，顶点坐标为(±1,0)，(0，±5)．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是eq\f(2,3)；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解析：(1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝6，∴a又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，且两焦点为F′(－3,0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2且|OF|＝c，|A1A2|＝2b∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.9．(10分)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围．解析：由余弦定理得cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2).解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c即|PF1|·|PF2|＝eq\f(4b2,3)，∵|PF1|·|PF2|≤eq