几种不同增长函数模型

（一）3.2.1几类不同增长的函数模型【教学重点】【教学目标】【教学难点】课程目标【教学手段】多媒体电脑与投影仪将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．怎样选择数学模型分析解决实际问题.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对指数函数，对数函数以及幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．问题情景问题情景

假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？

阅读课本95～97页例1，边阅读边思考下面的问题：【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？

在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？构建数学探究一投资天数、回报金额解:设第x天所得回报是y元，则方案一：方案二：方案三：

在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？探究一

上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：探究二

请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.x/天

方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4

根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？三种方案每天回报表x42681012y20406080100120140o

底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？

你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？

方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论:①投资1~6天,应选择方案一;②投资7天,应选择方案一或二;③投资8~10天,应选择方案二;④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.回报天数方案☞累计回报表：方案一方案二方案三你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…

+0.01×229300万元解答:公司30天内为你的总投资为:情景问题解答

假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？=10737418.23≈1074(万元).1074-300=774(万元).实际应用问题分析、联想抽象、转化构建数学模型解答数学问题审题数学化寻找解题思路还原(设)(列)(解)(答)★解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？

本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？·············一次函数模型

实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况．y=0.25xy=log7x+1,·············对数函数模型·············指数函数模型y=1.002x探究一①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为____________.③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为___________.②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x

你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?探究二

你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？

奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：

(1)奖金总数不超过5万元；

(2)奖金不超过利润的25%.

因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.探究三4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求.探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？解:当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是否有f(x)≤0恒成立?

即当x∈[10,1000]时,f(x)=log7x+1－0.25x的图象是否在x轴下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的图象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五

根据图象观察,f(x)=log7x+1-0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.

这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.由图象知f(x)

在[10,1000]上为减函数.说明当x∈[10,1000]时,有.另解:作出f(x)的图象(利用计算机).

综上按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.

按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？探究五即奖金不会超过利润的25%.从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一区间的增长是有差异的，下面用几何画板来观察它们的差异．探究六问题情景

对数函数y=logax

(a>1),幂函数y=xn

(n>0)与指数函数y=ax(a>1)在区间(0,+∞)上都是增函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异的具体情况到底是怎样呢?以函数y=2x,

y=log2x,y=x2为例.探究一制作函数值表(借助计算器制表).观察表格,三个函数的增长速度是不同的.

总体来讲随着x的增大,y=log2x的增长速度最慢;y=2x和y=x2的增长速度有变化,一开始,

y=2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快.1234xyo1y=log2xy=x2y=2x探究一画函数图象(描点或借助计算机作图).观察图象可以看出:三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分别标出不等式log2x<2x<x2和

log2x<x2<2x成立的x的取值范？(1)0<x<2或x>4时,(2)2<x<4时,24xyo1问题(1)如何求函数在(0,+∞)的零点?观察函数y=2x与

y=x2之间的增长情况探究二观察函数y=2x与

y=x2之间的增长情况

从函数图象可以看出,y=2x与y=x2的图象有两个交点,表明2x与x2在自变量的不同的区间有不同的大小关系,有时2x>x2,有时2x<x2但当x越来越大时,2x的增长速度远快于x2.问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式成立的x的取值范围.(1)0<x<2或x>4时,(2)2<x<4时,探究二答:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax

(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn

(n>0)

都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.

随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn

(n>0)的增长速度,而y=logax

(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有3.

幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论结论1:的增长快于的增长，所以存在一个，使x>时,有>.结论2:的增长快于的增长，所以存在一个，使x>时,有>.结论3：在区间（0，+∞）上，函数(a>1）（a>1),(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同。随着x的增大

(a>1）的增长速度越来越快，远远大于（n>0)的增长速度，而(a>1)的增长速度则越来越慢，因此，会存在一个，当时，有探究①以函数为例.思考:你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0<a<1),y=ax(0<a<1)与幂函数y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上衰减情况吗?结论:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax

(0<a<1),

y=ax(0<a<1)与y=xn

(n<0)

都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上.

随着x的增大,y=logax

(0<a<1)的衰减速度越来越快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,而y=xn

(n<0)的衰减速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0<a<1),

y=ax(0<a<1)与幂函数y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上衰减情况吗?【1】四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050关于x呈指数型函数变化的变量是________.(练习P.981)练一练练一练【2】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病