正余弦函数的奇偶性与单调性

X正余弦函数的性质奇偶性,单调性学习目标:1.理解正、余弦函数的奇偶性、单调性的意义；2.会求简单函数的奇偶性、单调性;重点:正、余弦函数的性质难点:正、余弦函数的性质．

复习:正弦、余弦函数的图象和性质

x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)

定义域值域xRy[-1,1]一、函数的奇偶性x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)设(x,y)是正弦曲线y=sinx(x∈R)上任意一点，即(x,sinx)是正弦曲线上的一点，它关于原点的对称点是(-x,-y)即(-x,-sinx)。由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，这个对称点就是(-x,sin(-x))。它显然也在正弦曲线上，所以正弦曲线关于原点对称，正弦函数是奇函数。奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图象关于原点对称。x6yo--12345-2-3-41y=cosx(xR)设(x,y)是余弦曲线y=cosx(x∈R)上任意一点，即(x,cosx)是余弦曲线上的一点，它关于y轴的对称点是(-x,y)即(-x,cosx)。由诱导公式cos(-x)=cosx可知，这个对称点就是(-x,cos(-x))。它显然也在余弦曲线上，所以余弦曲线关于y轴对称，余弦函数是偶函数。偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称

正弦、余弦函数的奇偶性例1：判断函数奇偶性(1)y=-sin3xx∈R(2)y=|sinx|+|cosx|x∈R(3)y=1+sinxx∈R解:(1)f(-x)=-sin［3(-x)］=-(-sin3x)=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinxf(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。

二、正弦函数的单调性

y=sinx(xR)增区间为[，]

其值从-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0………-1010-1减区间为[，]

其值从1减至-1？？？[

+2k,

+2k],kZ[

+2k,

+2k],kZ

余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

x

cosx-

……0…

…-1010-1增区间为其值从-1增至1[

+2k,

2k],kZ减区间为，

其值从1减至-1[2k,

2k+],kZyxo--1234-2-31例2.求下列函数的单调区间：

y=3sin(2x-)

单调增区间为所以：解：单调减区间为kZkZkZkZkZkZ例3不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：又y=sinx在上是增函数sin()<sin()即：sin()–sin()>0解：cos<cos即：cos–cos<0又y=cosx在上是减函数cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

从而cos()-cos()

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南京旅行社崅銵莒练习:小结：

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

奇偶性

单调性（单调区间）奇函数偶函数[

+2k,

+2k],kZ单调递增[

+2k,