方差分析-多样本均数

方差分析（ANOVA）又称

F

检验，其目的是推断多组资料的总体均数是否相等。本章主要内容包括单因素方差分析（即完全随机设计资料的方差分析）、两因素方差分析（即随机区组设计资料的方差分析）和三因素方差分析（即拉丁方设计资料的方差分析）及多个样本均数间的多重比较。第九章多个样本均数比较的方差分析

第一节方差分析的基本思想和应用条件

一、方差分析的基本思想

方差分析的基本思想借助以下例题予以说明：

例9-1为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将18只大鼠随机分到甲、乙、丙3个组，每组6只，分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12周后测量大鼠全肺湿重（g），数据见表9—2，问不同环境下大鼠全肺湿重有无差别？

甲组乙组丙组4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.14.64.93.34.24.7

ni666

从以上资料可看出，三个组的数据各不相同，这种差异（总变异）可以分解成两部分：即

（1）组间变异：甲、乙、丙三个组大鼠全肺湿重各不相等（此变异反映了处理因素的作用，以及随机误差的作用）

（2）组内变异：各组内部大鼠的全肺湿重各不相等（此变异主要反映的是随机误差的作用）各部分变异的计算：

①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离均差平方和来表示。

其中

甲组乙组丙组4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.14.64.93.34.24.7

ni666

②组间变异（由于所接受的处理因素不同而致各组间大小不等）用组间离均差平方和来表示。

各组均数之间相差越大，它们与总均数的差值就越大，越大；反之，越小。甲组乙组丙组4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.14.64.93.34.24.7

ni666③组内变异（同一处理组内部试验数据大小不等）用组内离均差平方和来表示。

三个变异之间的关系：

其中：

离均差平方和只能反映变异的绝对大小。变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该比值称均方差，简称均方（MS）。

的大小就反映了各部分变异的平均大小。

方差分析就是通过比较组内均方和组间均方的大小关系来判断处理因素有无效应。

检验统计量：

如果各组的总体均数相等，即无处理因素的作用，则组内变异和组间变异都只反映随机误差的大小，此时组间均方和组内均方大小相当，即F值则接近1，各组均数间的差异没有统计学意义；反之，如果处理有作用，则组间变异不仅包含随机误差，还有处理因素引起的变异(组间变异主要反映处理因素的作用)，此时组间均方远大于组内均方，则F值远大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据

F值的大小可判断各组之间有无差别。

可见，方差分析的基本思想就是根据实验设计的类型，将全部测量值总的变异分解成两个或多个部分，每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的作用）加以解释，通过比较各部分的均方与随机误差项均方的大小，借助

F

分布来推断各研究因素对实验结果有无影响。二、方差分析的应用条件（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布；（2）各组总体方差相等，即方差齐性。第二节完全随机设计资料的方差分析一、完全随机设计完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。二、变异分解

完全随机设计资料的方差分析表变异来源自由度SSMSF

总变异

组间

组内

例9-1

试根据表9-2的试验结果，检验三组大鼠全肺湿重的总体均数是否相同。解：

(１)建立假设,并确定检验水准。

H0：

H1：

不等或不全相等

三、分析步骤(２)计算F值表9-2三组大鼠的全肺湿重（g）

本例

，

，以上计算结果代入方差分析表，并求出相应的MS

及F

值：表9-3例9-1的方差分析表变异来源SSv

MSF

值P值组

间2.528

21.2644.70<0.05组

内4.03515

0.269总6.56317(３)查F界值表，确定P值并作结论。

由附表

5

查得F0.05（2，15）=3.68，F=4.70>

F0.05（2，15），故P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为不同粉尘环境影响大鼠的全肺湿重。当g=2时，方差分析的结果与两样本均数比较的t

检验等价，且有。第三节随机区组设计资料的方差分析

一、随机区组设计随机区组设计（randomizedblockdesign），又称配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。该设计的特点：（1）该设计包含两个因素，一个是区组因素，一个是处理因素；（2）各区组及处理组的受试对象数相等，各处理组的受试对象生物学特性较均衡，可减少试验误差，提高假设检验的效率。此类资料的方差分析，其应用条件同前：即资料满足正态性及方差齐性的要求。

因为随机区组设计可以将区组间变异从完全随机设计的组内变异中分离出来以反映不同区组对结果的影响，所以随机区组设计全部测量值总的变异相应地就分成三部分。

各种变异之间的关系是：

其中：

二、

变异分解（1）总变异：反映全部试验数据间大小不等的状况，（2）处理组间变异：甲、乙、丙三个组间测量值的均数大小不等，（3）区组间变异：12个区组间测量值的均数大小不等，（4）误差变异：反映随机误差产生的变异，表9-5随机区组设计的方差分析表

变异来源自由度SSMSF

总变异处理间区组间

误差二、分析步骤

结合例9-2：

例9-2研究甲、乙、丙三种营养素对小白鼠体重增加的影响，已知窝别为影响因素。拟用6窝小白鼠，每窝3只，随机地安排喂养甲、乙、丙三种营养素之一种，8周后观察小白鼠体重增加情况，数据见表9-6。问：（1）不同营养素之间小白鼠的体重增加是否不同？（2）不同窝别之间小白鼠的体重增加是否不同？表9-6三种营养素喂养小白鼠所增体重（g）

窝别号甲营养素乙营养素丙营养素164657325354593716879441463855058656424046（1）建立假设、确定检验水准。处理：H0：甲=乙=丙（三种营养素对小白鼠体重增加作用相同）H1：甲，乙，丙不全相等（三种营养素对小白鼠体重增加作用不全相同）区组：H0：1=2=…=6（窝别对小白鼠体重增加无影响）H1：1，2，…，6不全相等（窝别对小白鼠体重增加有影响）

（2）计算检验统计量F

值。计算各处理组的小计，各区组的小计，见表9-6。表9-6三种营养素喂养小白鼠所增体重（g）

窝别号甲营养素乙营养素丙营养素区组合计(Bj)1646573

2022535459

1663716879

2184414638

1255505865

1736424046

128处理组合计(Ti)321331360

10121789118845228365957253.555.260.056.22本例，表9-2例9-2方差分析表变异来源

SSV

MS

FP处理组间136.778

268.3894.24<0.05区组间2377.1115475.42229.49<0.01误差161.2221016.122总变异2675.11117①处理因素：查F界值表，，因，故

P＜0.05

。结论：按α=0.05

水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为不同营养素对小白鼠体重增加有影响。②区组因素：查F界值表，

，，F>F

0.01（5,10），故P＜0.05。结论：按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为不同窝别对小白鼠体重增加有影响。（３）查F界值表，确定P

值并作结论。随机区组设计的优点是，从组内变异中分离出区组变异从而减少了误差均方，使处理组间的F

值更容易出现显著性，即提高了统计检验效率。当g=2时，随机区组设计方差分析与配对设计资料的t

检验等价，有t2=F。第四节拉丁方设计资料的方差分析

一、拉丁方设计完全随机设计只涉及到一个处理因素；随机区组设计涉及一个处理因素和一个区组因素。若实验涉及一个处理因素和两个控制因素，而且每个因素的水平数相等，此时可采用拉丁方设计来安排实验，将两个控制因素分别安排在拉丁方的行和列上。4×4ABCDDABCCDABBCDA拉丁方是由g个拉丁字母排成的g×g方阵，每行或每列中每个字母都只出现一次，这样的方阵称为g阶拉丁方。拉丁方设计是在随机区组设计的基础上发展的，它可多安排一个已知的对实验结果有影响的非处理因素，提高了效率。应用时，根据水平数g

来选定拉丁方大小。3×34×45×5ABCCABBCAABCDDABCCDABBCDAABCDEEABCDDEABCCDEABBCDEA

例9-3研究A、B、C、D四种食品，以及甲、乙、丙、丁四种加工方法对小白鼠增体重的影响。拟用4窝大鼠，每窝4只，每只小白鼠随机喂养一种食品、随机采用一种加工方法；8周后观察大鼠增体重情况。实验结果如表9-9所示。问：（1）食品种类是否影响大鼠体重增加？（2）食品加工方法是否影响大鼠增体重？（3）不同窝别的大鼠体重增加是否不同？区组号甲乙丙丁180(D)70(B)51(C)48(A)247(A)75(C)78(D)45(B)348(B)80(D)47(A)52(C)446(C)81(A)49(B)77(D)表9-9四种食品及四种加工方法喂养大鼠所增体重（g）4×4ABCDDABCCDABBCDA二、变异分解表9-8拉丁方设计资料的方差分析表

表中C为校正数，、、分别为不同处理、行区组、列区组的合计。三、分析步骤例9-3问：（1）食品种类是否影响大鼠体重增加？（2）食品加工方法是否影响大鼠增体重？（3）不同窝别的大鼠体重增加是否不同？表9-9四种食品及四种加工方法喂养大鼠所增体重（g）解：

(1)建立检验假设，确定检验水准H处理0：A=B=C=D

即四种食品对大鼠体重增加相同

H处理1：A，B，C，D不全相等即四种食品对大鼠体重增加不全相同H行0：1=2=3=4

即不同窝别大鼠体重增加相同

H行1：1，2，3，4不全相等即不同窝别大鼠体重增加不全相同H列0：甲=乙=丙=丁

即不同加工方法对大鼠体重增加相同

H列1：甲，乙，丙，丁不全相等即不同加工方法对大鼠体重增加不全相同

=0.05

（2）计算检验统计量

=62772-59292.25=3479.75

(2232＋2122＋2242＋3152)-59292.25=1726.25

(2492＋2452＋2272＋2532)-59292.25=98.75(2212＋3062＋2252＋2222)-59292.25=1304.25

=3479.75-1726.25-98.75-1304.25＝350.5

表9-10例9-3方差分析表变异来源

SSV

MS

FP处理间1726.25

3575.4179.85<0.01行区组98.75332.9170.56>0.05列区组1304.253434.7507.44<0.05误差350.50658.417总3479.7515（3）确定P值，作出推断结论①对处理：以处理=3和误差=6查F界值表，F0.05（3,6）=4.76，F0.01（3,6）=9.78，得P<0.01，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为食品种类能影响大鼠增重。②对行区组：以行=3和误差=6查F界值表，F0.05（3,6）=4.76，F0.01（3,6）=9.78，得P>0.05，按=0.05水准不拒绝H0，差别无统计学意义，尚不能认为不同窝别可影响大鼠增重。③对列区组：以列=3和误差=6查F界值表，F0.05（3,6）=4.76，F0.01（3,6）=9.78，得P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为食品加工方法会影响大鼠增重。拉丁方设计的要求：

①一定是三因素，且三因素水平数相等；②行间、列间、处理间均无交互作用；③各行、列、处理的方差齐。拉丁方设计的优缺点：

优点是可同时研究三个因素，减少实验次数。从组内变异中不但分离出行区组变异，而且还分离出列区组变异，使误差变异进一步减小。缺点是要求处理组数与所要控制的两个因素水平数相等，一般实验不容易满足此条件，而且数据缺失会增加统计分析的难度。第五节多个均数间的两两比较

经过方差分析，若拒绝了检验假设H0，只能说明多个总体均数不等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。多重比较常用的方法有：SNK-q检验、LSD-t

检验和Dunnett-t

检验。一、SNK-q检验

SNK（Student-Newman-Keuls）检验，亦称q

检验，适用于多个均数两两之间的全面比较。检验统计量q

的计算公式为：

例9-4例9-1经

F检验结论有统计学意义，试用SNK-q检验方法对三组均数进行多重比较。解：

(1)建立假设，确定检验水准。

H0

：（对比组总体均数相等）；

H1

：（对比组总体均数不等）；

（2）计算检验统计量q值。

①计算差值的标准误：本例nA＝nB＝6，MS误差＝MS组内＝0.269

②将三个样本均数从小到大排序，并赋予秩次：均数3.8174.2334.733

组别甲组乙组丙组秩次（R）

123

③列表计算检验统计量q

值：表9-12例9－1的3个样本均数两两比较的q检验

（3）确定P值，作出推断结论 以误差＝15及组数

a

查

q

界值表，并确定

P

值，填入表9-12。

结论：甲组与丙组（“1与3”）比较P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，有统计学意义，可认为甲组（办公楼）全肺湿重小于丙组（矿井）；其余对比组之间比较均P>0.05，按=0.05水准不拒绝H0。因此，可认为矿井下环境会造成肺功能损害。

二、Dunnett-t

检验

Dunnett–t检验适用于多个实验组与一个对照组均数差别的多重比较。检验统计量为：

例9-5例9-2中甲组是对照组，研究目的是比较乙营养素和丙营养素是否比甲营养素多增加体重，经F检验结论有统计学意义，试用Dunnett-t检验方法对三组均数进行多重比较。解：

（1）建立假设，确定检验水准。

H0：

（所比较实验组与对照组总体均数相等）

H1：（所比较实验组与对照组总体均数不等）

（2）计算检验统计量Dunnett-t值。

①本例

nT=nC=6，MS误差＝16.122，则差值的标准误为

2.318

②列表计算tD

统计量，如表9-13所示。

（3）确定P值，作出推断结论。

以及处理数T=2查Dunnett-t

检验界值表，并确定P值，填入表9-13。丙组与甲组比较P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，有统计学意义，可认为丙营养素比对照组体重增加更多。但乙组与甲组比较P>0.05，没有统计学意义，按=0.05水准不拒绝H0，尚不能认为乙营养素与对照组增加体重不同。

表9-13例9－2的2个处理组与对照组均数比较的tD检验三、LSD-t

检验

LSD-t

检验即最小显著差异t

检验，适用于一对或几对在专业上有特殊意义的样本均数间的比较。检验统计量

t

的计算公式为:

LSD-

例9-6例9-3中食品种类是否影响大鼠增体重，研究目的只为比较A食品与B食品，C食品与D食品便可；多组间经F检验结论有统计学意义，试用LSD-t检验方法对这两对均数进行多重比较。 检验步骤为：

（1）建立检验假设，确定检验水准

H0：A=

B即所研究的两个对比组的总体均数相等

H1：A≠

B即所研究的两个对比组的总体均数不等

=0.05

(2)计算检验统计量

①

本例

nA＝nB＝4，MS误差＝58.417，＝误差＝6

②计算统计量LSD-t值，如表9-14所示。

（3）确定P值，作出推断结论

以误差＝6查t界值表，并确定P值，填入表9-14。由表9-14得A食品与B食品比较P>0.05，按=0.05水准，不拒绝H0，无统计学意义，还不能认为A食品和工食品增体重不同。但C食品与D食品比较P<0.01，按=0.05水准，拒绝H0，有统计学意义，可认为C食品增体重不如D食品。

表9-14例9－3的两个对子均数比较的LSD-t检验

上述三种方法均基于方差分析中估计的误差均方，这是与t检验最大的不同之处。这三种方法是一致的，但并非等价，结果略有差别。由于统计软件可同时作十几种多重比较检验，应用中应根据统计设计和专业知识考虑来确定采用哪一种方法，不能多种方法一起使用，然后选取“有利”的结果。第五节多组样本的方差齐性检验方差分析的一个应用条件是相互比较的各样本的总体方差相等，即具有方差齐性，这就需要在作方差分析之前，先对资料的方差齐性进